Wiskunde/Gebroken (lineaire) functies
DefinitieBewerken
Zoals een gebroken getal het quotiënt is van twee gehele getallen, zo is een gebroken functies het quotiënt van twee veeltermen. De noemer is dus voor een of meer waarden van Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x} gelijk aan 0, en de functie is daar onbepaald. Die waarde(n) van Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x} behoren niet tot het domein van de functie. De grafiek van de functie valt daardoor in stukken uiteen.
Het eenvoudigste voorbeeld van een gebroken functie is de hyperbool
- Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac {1} {x}}
Deze functie bestaat niet voor Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = 0} , want delen door nul kan niet. Naarmate Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x} dichter bij nul komt, schiet de waarde van de functie steil omhoog voor Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x > 0} en omlaag voor Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x < 0} . De in de grafiek nooit bereikte grenslijn Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = 0} wordt een asymptoot genoemd. Het punt Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = 0} behoort niet tot het domein van Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f} . Ook Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f = 0} is een asymptoot: hoe verder Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x} van 0 weg is, hoe dichter de functiewaarde bij 0 komt, maar de waarde wordt nimmer bereikt. De waarde 0 behoort niet tot het bereik van de functie.
Om aan te geven dat de waarde 0 geen geldig punt is in de functie wordt er in de wiskunde gebruik gemaakt van het begrip limiet, dat wordt aangegeven door het woordje Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim} . De limiet houdt in dat wanneer de formule dichter bij het perforatiepunt (het punt waar de functie geen waarde heeft) komt, de aangegeven waarde geen oplossing heeft. De notatie gaat als volgt:
- Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x)=\frac {1} {x}} .
Het stuk Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}} betekent dat de functie naar het punt Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = 0} toegaat. Het gedeelte Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim} geeft dan aan dat er op dat punt iets ontbreekt.
AsymptotenBewerken
Een asymptoot is een lijn waardoor een hyperbool nooit heen gaat. Er bestaan zowel horizontale als verticale asymptoten: beide asymptoten zijn door middel van een limiet te bepalen. Het achterhalen van een verticale asymptoot is hiervoor reeds behandeld: er wordt een limiet ingesteld waarbij de noemer ongelijk aan nul moet zijn. De x waarbij de noemer van de functie wél gelijk is aan nul wordt de verticale asymptoot.
Horizontale asymptoten hebben een andere methode om achterhaald te worden: er wordt gebruik gemaakt van een limiet waarbij de x niet de nul, maar het positieve of negatieve oneindig. Dat ziet er als volgt uit:
Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=\frac {ax + b} {cx +d}} én Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=\frac {ax + b} {cx +d}}
Op deze wijze wil er worden uitgedrukt dat de x het oneindig of het negatieve oneindig nadert met als doel te kijken door welke y-waarde de hyperbool niet gaat. Door te werken met deze methode is de horizontale asymptoot goed af te lezen: bij de voorbeelden hierboven kunnen we de b en de d, de vaste getallen zonder variabelen, verwaarlozen. Het maakt namelijk niet uit dat er b of d bij een zeer groot getal (x nadert het oneindig, dus x wordt steeds groter) wordt opgeteld, omdat die het getal minimaal beïnvloeden. Vervolgens worden ax en cx door x gedeeld, waardoor de horizontale asymptoot gelijk is aan Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac {a} {c}} .
De asymptoten moeten in een assenstelsel worden vermeld. Dit gebeurt doorgaans met een stippellijn.
Rekenen met de limietBewerken
PerforatiepuntenBewerken
Rekenen met een limiet helpt de wiskundige met het oplossen van een formule zodanig dat er voor elk getal toch een waarde uitgerekend kan worden, hoewel dit zonder limiet niet mogelijk is. Vooral met tweedegraadsfuncties, bijvoorbeeld door middel van de product-som-methode, kan er zeer goed met een limiet gerekend worden. Zodra zowel de noemer als de teller -mits deze ontbonden moet worden- ontbonden is, kunnen de producten die zowel in de teller als in de noemer aanwezig zijn door elkaar worden gedeeld, wat leidt tot het herleiden van een breuk. Bij voorkeur wordt een gebroken functie door deze tactiek herleid tot een eerste-, tweede-, derde-, enz. graadsfunctie. De ontstane functie is dan geen hyperbool meer en kan makkelijker benaderd worden door de wiskundige regels. Een visueel voorbeeld met formules volgt hieronder.
Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow -5} f(x)=\frac {x^2+9x+20} {x+5} \rightarrow \lim_{x\rightarrow -5} f(x)=\frac {(x+4)(x+5)} {(x+5)} \rightarrow \lim_{x\rightarrow -5} f(x)={x+4} }
Zoals hierboven staat kan een gebroken kwadratische functie dus worden omgezet tot een lineaire functie. Maar voor de functie Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x)} geldt nog steeds dat er punt ontbreekt op de grafiek van Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x)} . Dit kan worden bewezen doordat Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow -5}} nog steeds voor de functieParsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x) } staat. Om te berekenen wat de coördinaten van het perforatiepunt zijn, moet de x die onder de lim staat ingevuld worden als de x in de functie Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x) } . Omdat het x-coördinaat in het perforatiepunt van deze grafiek dus gelijk is aan -5, wordt het y=coördinaat achterhaald door de -5 op de plaats van de x te stoppen. De uitkomst is dan Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (-5, -1)} als niet-bestaand punt in de grafiek van Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x)} .
AsymptotenBewerken
Zoals eerder is uitgelegd, is een asymptoot een lijn die een hyperbool niet raakt. De standaardformule Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x)=\frac {ax + b} {cx +d}} (verticale asymptoot) Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=\frac {ax + b} {cx +d}} (horizontale asymptoot) is voor vrijwel alle formules toepasbaar. Alleen moet er met een modulus in de functie opgelet worden bij de horizontale asymptoot: er ontstaan namelijk twee asymptoten omdat de formule binnen de absoluut strepen bij een waarde onder nul (als de limiet naar het negatieve oneindig gaat) de tegenovergestelde waarde aanneemt. Hieronder volgt een voorbeeld:
Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac {2x + 8} {x + 3}}
- Verticale asymptoot:
Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow -3} f(x)=\frac {2x + 8} {x + 3}}
De verticale asymptoot bevindt zich bij Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = -3} : op dit punt is de noemer gelijk aan nul, wat niet mogelijk is.
2. Horizontale asymptoot:
Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=\frac {2x + 8} {x + 3}} én Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=\frac {2x + 8} {x + 3}}
De horizontale asymptoot bevindt zich bij Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = 2} : als er bij de x een zeer groot getal ingevuld wordt, zal het verschil tussen de teller en de noemer gelijk zijn aan 2.
Nu volgt een voorbeeld met een bijzondere gebroken functie:
Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac {|3x+3|} {4x - 1}}
- Verticale asymptoot
Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac {1} {4} } f(x)=\frac {|3x+3|} {4x-1}}
De verticale asymptoot bevindt zich bij Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = \frac {1} {4}} : op dit punt is de noemer gelijk aan nul, wat niet mogelijk is.
2. Horizontale asymptoot
Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty } f(x)=\frac {|3x+3|} {4x-1}} én Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)=\frac {|3x+3|} {4x-1}}
Bij de modulus moet erop worden gelet dat de waarden tussen de absoluut strepen gelijk blijven als x naar het oneindig gaat, en omgekeerd worden als de x naar het negatieve oneindig gaat.
Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty } f(x)=\frac {|3x+3|} {4x-1} \longrightarrow \lim_{x\rightarrow \infty } f(x)=\frac {3x+3} {4x-1}}
Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)=\frac {|3x+3|} {4x-1} \longrightarrow \lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)=\frac {-3x-3} {4x-1}}
De horizontale asymptoot als de limiet naar het oneindig gaat, bevindt zich bij Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = \frac {3} {4}} : als er bij de x een zeer groot getal ingevuld wordt, zal het verschil tussen de teller en de noemer gelijk zijn aan 0,75.
De horizontale asymptoot als de limiet naar het negatieve oneindig gaat, bevindt zich bij Parsen mislukt (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = -\frac {3} {4}} : als er bij de x een zeer groot negatief getal ingevuld wordt, zal het verschil tussen de teller en de noemer gelijk zijn aan -0,75.
