Wiskunde/Integraal

Gebruik

De integraal wordt gebruikt om twee redenen:

• De oppervlakte tussen een grafiek en de x-as aanduiden
• Een oneindige som aanduiden

Riemann-sommen

De Duitse wiskundige Riemann wilde op de één of andere manier de oppervlakte bepalen tussen de grafiek van een functie $f(x)$ en de x-as op het interval [a,b]. Hij redeneerde als volgt: als ik het interval verdeel in n stukjes met breedte $\Delta x=(b-a)/n$ en die oppervlakte zou opvullen met rechthoekjes boven die stukjes met hoogte $f(x_{i})$, waarin $x_{i}$ het midden van zo'n stukje is, dan is de gezamenlijke oppervlakte van die rechthoekjes bij benadering gelijk aan de oppervlakte tussen de x-as en de grafiek van $f(x)$.

Dus hij schreef op: $\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x\approx Opp.$

Integraal

Dan redeneerde hij verder. Als ik steeds meer rechthoekjes neem en de breedte van die rechthoekjes zéér klein laat worden, dus $\Delta x\rightarrow 0$, krijg ik precies de oppervlakte, die hij integraal noemde. In plaats van een somteken, schreef hij voor die oneindige som van oneindig kleine rechthoekjes een $\int$, een langgerekte S, en voor de oneindig kleine $\Delta x$ schreef hij dx.

$Opp=\int _{a}^{b}f(x)dx$

Eigenlijke integraal

Als een functie f integreerbaar is over het interval $]a,b[$ noemt men de integraal eigenlijk. Stel dat er een functie $f(x)$ is gegeven. Je wil de oppervlakte tussen grafiek en x-as bepalen in het interval $[-7;4]$. Dan is dit simpelweg de integraal van de functie over het interval berekenen:

$\int _{-7}^{4}f(x)dx$

Oneigenlijke integraal

Een oneigenlijke integraal is een limiet van integralen waarvan de ondergrens naar $-\infty$ nadert of de bovengrens naar $+\infty$ of één van beide integratiegrenzen een punt nadert waar de integrand niet gedefinieerd is.

Oneigenlijke integraal over een begrensd interval

Als een functie $f:]a,b[\rightarrow R$ over elk interval $]x,b[(a<x\leq b)$ integreerbaar is en $\lim _{x\to a+}\int _{x}^{b}f\in R$ bestaat, dan noteren we

$\int _{a}^{b}f:=\lim _{x\to a+}\int _{x}^{b}f$

Of analoog, als $f$ over elk interval $]a,x[(a\leq x<b)$ integreerbaar is en $\lim _{x\to b-}\int _{a}^{x}f\in R$ bestaat, dan noteren we

$\int _{a}^{b}f:=\lim _{x\to b-}\int _{a}^{x}f$

Als de integraal enkel bestaat in deze uitgebreide betekenis, noemt men haar oneigenlijk.

Twee hoofdstellingen van de integraalrekening

Eerste hoofdstelling

Simpel gezegd: Integreren is de inverse bewerking van differentiëren.

$(\int _{a}^{x}f(t)dt)'=f(x)$

Tweede hoofdstelling

$\int _{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)$

Waarbij f een primitieve functie wordt genoemd van f '.

Beknopte, meestgebruikte integralen

Eigenlijke integralen

$\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}$

$\int {\frac {1}{x}}=\ln |x|$

$\int \ln(x)dx=x\ln(x)-x$

$\int e^{x}dx=e^{x}$

$\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln(a)}}$

$\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {\frac {x}{a}}$

$\int \sin(x)dx=-\cos(x)$

$\int \tan(x)dx=-\ln |\cos {x}|$

$\int \sinh(x)dx=\cosh(x)$

$\int \tanh(x)dx=\ln |\cosh(x)|$

Alle andere integralen kunnen hieruit makkelijk worden afgeleid.

Oneigenlijke integralen

$\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {x}}e^{-x}dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {x^{3}dx}{e^{x}-1}}={\frac {\pi ^{2}}{15}}$

$\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {xdx}{e^{x-1}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {sin(x)dx}{x}}={\frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{+\infty }x^{z-1}e^{-x}dx=\Gamma (z)$ met $\Gamma (z)$ de Gammafunctie.

Hierbij is x een onafhankelijke variable en z een constante

bron

Cursus wiskundige analyse 1; universiteit Gent; Prof. C. Impens.