Wiskunde/Integraal

GebruikBewerken

De integraal wordt gebruikt om twee redenen:

  • De oppervlakte tussen een grafiek en de x-as aanduiden
  • Een oneindige som aanduiden

Riemann-sommenBewerken

De Duitse wiskundige Riemann wilde op de één of andere manier de oppervlakte bepalen tussen de grafiek van een functie   en de x-as op het interval [a,b]. Hij redeneerde als volgt: als ik het interval verdeel in n stukjes met breedte   en die oppervlakte zou opvullen met rechthoekjes boven die stukjes met hoogte  , waarin   het midden van zo'n stukje is, dan is de gezamenlijke oppervlakte van die rechthoekjes bij benadering gelijk aan de oppervlakte tussen de x-as en de grafiek van  .

Dus hij schreef op:  

IntegraalBewerken

Dan redeneerde hij verder. Als ik steeds meer rechthoekjes neem en de breedte van die rechthoekjes zéér klein laat worden, dus  , krijg ik precies de oppervlakte, die hij integraal noemde. In plaats van een somteken, schreef hij voor die oneindige som van oneindig kleine rechthoekjes een  , een langgerekte S, en voor de oneindig kleine   schreef hij dx.

 

Eigenlijke integraalBewerken

Als een functie f integreerbaar is over het interval   noemt men de integraal eigenlijk. Stel dat er een functie   is gegeven. Je wil de oppervlakte tussen grafiek en x-as bepalen in het interval  . Dan is dit simpelweg de integraal van de functie over het interval berekenen:

 

Oneigenlijke integraalBewerken

Een oneigenlijke integraal is een limiet van integralen waarvan de ondergrens naar   nadert of de bovengrens naar   of één van beide integratiegrenzen een punt nadert waar de integrand niet gedefinieerd is.

Oneigenlijke integraal over een begrensd intervalBewerken

Als een functie   over elk interval   integreerbaar is en   bestaat, dan noteren we

 

Of analoog, als   over elk interval   integreerbaar is en   bestaat, dan noteren we

 

Als de integraal enkel bestaat in deze uitgebreide betekenis, noemt men haar oneigenlijk.

Twee hoofdstellingen van de integraalrekeningBewerken

Eerste hoofdstellingBewerken

Simpel gezegd: Integreren is de inverse bewerking van differentiëren.

 

Tweede hoofdstellingBewerken

 

Waarbij f een primitieve functie wordt genoemd van f '.

Beknopte, meestgebruikte integralenBewerken

Eigenlijke integralenBewerken

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Alle andere integralen kunnen hieruit makkelijk worden afgeleid.

Oneigenlijke integralenBewerken

 

 

 

 

 

  met   de Gammafunctie.


Hierbij is x een onafhankelijke variable en z een constante


bronBewerken

Cursus wiskundige analyse 1; universiteit Gent; Prof. C. Impens.

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.