Wiskunde/Pythagoras

Wat is de stelling van Pythagoras?

De stelling van Pythagoras is waarschijnlijk de bekendste stelling in de wiskunde. De stelling zegt iets over de relatie tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde van een rechthoekige driehoek.

De stelling dankt haar naam aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens alleen maar nieuw voor de Grieken. In Soemerië was het resultaat namelijk al veel langer bekend. Belangrijker nog dan de kennis van de stelling was het leveren van een bewijs daarvoor; daarbij waren de Grieken (Pythagoras of een van zijn leerlingen) wel de eersten.

Uitleg

In de rechthoekige driehoek ABC zijn de zijden a en b de rechthoekszijden. De zijde c noemen we de schuine zijde of hypotenusa.

De stelling van Pythagoras luidt:

"In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hypotenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden."

Anders geformuleerd:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

De stelling van Pythagoras is een van de oudste stellingen uit de oudheid. Volgens de legende was Pythagoras zo in z'n nopjes met zijn ontdekking van de stelling dat hij een offer aan de goden bracht in de vorm van een paar ossen.

Bewijzen

Er bestaan meer dan 300 bewijzen van deze stelling. Een van de eenvoudigste vormen maakt gebruik van vier rechthoekige driehoeken, zoals in de afbeelding hiernaast. Telkens zijn een korte en een lange zijde in elkaars verlengde geplaatst. De lengte en breedte van de zijden van het vierkant zijn (a+b), dus de oppervlakte van het grote vierkant is (a+b)2. De oppervlakte is ook gelijk aan de som van de vier driehoeken (4 × ½ab) en de oppervlakte van het binnenste vierkant, dat oppervlakte c2 heeft. Dus (a+b)2=2ab + c2. Uitwerken van het kwadraat links geeft: a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 Dus: a2 + b2 = c2 Q.E.D.

De stelling van Pythagoras is een bijzonder geval van de cosinusregel die voor alle driehoeken geldt, niet enkel rechthoekige:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma$

omdat je een rechthoekige driehoek hebt, is hoek $\gamma$ altijd 90°.

$\mathbf {cos(90)=0}$

$2ab\cdot 0=0$

$\mathbf {c^{2}=a^{2}+b^{2}-0=a^{2}+b^{2}}$

Pythagorese drietallen

De kleinste gehele waarden die aan de stelling van Pythagoras voldoen zijn 3,4,5 (3² + 4² = 5²). Uiteraard voldoet ook elk veelvoud hiervan, zoals 6² + 8² = 10².

Er zijn oneindig veel combinaties van gehele getallen die aan de vergelijking x²+y²=z² voldoen. (5,12,13) is een andere combinatie. Deze combinaties worden ook wel Pythagorese drietallen genoemd.

Externe links

• Een website met 69 bewijzen voor de Stelling van Pythagoras