Discrete Kansrekening/Basisbegrippen/Kans

1.3 Kans

In 1933 legde de Russische wiskundige A. N. Kolmogorov (1903-1987) in zijn boekje "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" de basis voor de moderne kansrekening. Hierdoor kwamen de in de vorige paragrafen genoemde beperkingen te vervallen. Bij deze aanpak is een willekeurige (niet-lege) verzameling als uitkomstenruimte toegestaan. Zo is bv. de verzameling van alle reële getallen toegestaan, waardoor het o.a. mogelijk is dat er oneindig veel verschillende gebeurtenissen zijn. Voor de elementaire gebeurtenissen is niet meer vereist dat ze alle "gelijkelijk mogelijk" zijn. Kolmogorov poneerde drie axioma's waaraan een kans moet voldoen. Deze drie axioma's zijn het analogon van de eigenschappen 1.2.1.a - c uit paragraaf 2, waaraan het frequentiequotiënt zowel als de kans volgens Laplace voldoet.

Definitie 1.3.1 (axioma's van Kolmogorov)

Zij   een willekeurige uitkomstenruimte. Een functie   die aan elke gebeurtenis   een reëel getal   toevoegt, noemen we een kans op  , als   voldoet aan de volgende eisen:

(a)   voor elke gebeurtenis  ;
(b)  ;
(c) voor elke aftelbaar oneindige rij disjuncte gebeurtenissen   geldt:
 


Op deze drie rekenregels voor kansen berust de gehele kansrekening!

Opmerking

De axioma's van Kolmogorov zijn van toepassing op willekeurige uitkomstenruimten. In dit boek zullen we ons echter alleen met discrete uitkomstenruimten bezighouden.


In de vorige paragraaf hebben we al opgemerkt dat een kans volgens de definitie van Laplace voldoet aan de axioma's en dus terecht de naam kans verdient. Op welke andere manieren kunnen we nu een kans construeren? Voor discrete uitkomstenruimten kunnen we op natuurlijke wijze de kans   op een elementaire gebeurtenis vastleggen door de kansfunctie  .

Definitie 1.3.2

Zij   een willekeurige (discrete) uitkomstenruimte. Een functie   die aan iedere uitkomst   een getal  , dat we ook kans op   noemen, toevoegt, heet kansfunctie als:

 

en

 

We kunnen nu bij een kansfunctie een kans definiëren, door de kans op een gebeurtenis te berekenen als de som van de kansen op de uitkomsten die tot die gebeurtenis behoren. Dat zo inderdaad een kans gedefinieerd is blijkt uit de volgende stelling.

Stelling 1.3.1

Als   een kansfunctie is op de uitkomstenruimte  , is de functie  , gedefinieerd voor iedere gebeurtenis   door:

 

een kans op  .


Bij iedere kansfunctie   op een discrete uitkomstenruimte   hoort dus een kans   op  . Omgekeerd hoort bij iedere kans   op een discrete uitkomstenruimte   een kansfunctie   op  .

Stelling 1.3.2

Als P een kans is op de uitkomstenruimte  , dan is de functie   gedefinieerd door:

 

een kansfunctie.


Uit het voorgaande blijkt dus dat kansen   en kansfuncties   op een-eenduidige wijze bij elkaar horen.

Definitie 1.3.3

Zij   een uitkomstenruimte en   een kans op  , dan noemen we het paar   een kansruimte. Ook het paar  , waarin   de bij   behorende kansfunctie is, zullen we als kansruimte aanduiden.


Voorbeeld 1 (alternatief; vervolg)

De uitkomstenruimte is  . We geven een willekeurige kansfunctie aan door  , met  . Er zijn maar vier gebeurtenissen; de bij   behorende kans   kent daaraan de volgende kansen toe:  . We kunnen de kansruimte ook in een tabel geven:

       
      1

Voorbeeld 2 (zuivere dobbelsteen; vervolg)

De uitkomstenruimte is  . Voor een zuivere dobbelsteen is de kans op elke uitkomst gelijk, dus  . De bijbehorende kans   is gedefinieerd volgens Laplace, dus is bv.   voor de gebeurtenis   (we gooien een even ogenaantal) en   voor   (we gooien minder dan 3). Als tabel ziet de kansruimte er als volgt uit:

  1 2 3 4 5 6 totaal
  1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1

Voorbeeld 3 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)

De uitkomstenruimte is   en voor een zuivere dobbelsteen zijn alle 36 uitkomsten even waarschijnlijk, dus is   voor alle  . De bijbehorende kans   is weer gedefinieerd volgens Laplace; zo heeft de gebeurtenis   (de som van de ogen van beide worpen is 4) een kans   van optreden.


 

  Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.


Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.