Discrete Kansrekening/Basisbegrippen/Kans

1.3 Kans

In 1933 legde de Russische wiskundige A. N. Kolmogorov (1903-1987) in zijn boekje "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" de basis voor de moderne kansrekening. Hierdoor kwamen de in de vorige paragrafen genoemde beperkingen te vervallen. Bij deze aanpak is een willekeurige (niet-lege) verzameling als uitkomstenruimte toegestaan. Zo is bv. de verzameling van alle reële getallen toegestaan, waardoor het o.a. mogelijk is dat er oneindig veel verschillende gebeurtenissen zijn. Voor de elementaire gebeurtenissen is niet meer vereist dat ze alle "gelijkelijk mogelijk" zijn. Kolmogorov poneerde drie axioma's waaraan een kans moet voldoen. Deze drie axioma's zijn het analogon van de eigenschappen 1.2.1.a - c uit paragraaf 2, waaraan het frequentiequotiënt zowel als de kans volgens Laplace voldoet.

Definitie 1.3.1 (axioma's van Kolmogorov)

Zij $S$ een willekeurige uitkomstenruimte. Een functie $P$ die aan elke gebeurtenis $A\subset S$ een reëel getal $P(A)$ toevoegt, noemen we een kans op $S$, als $P$ voldoet aan de volgende eisen:

(a) $P(A)>0$ voor elke gebeurtenis $A$;

(b) $P(S)=1$;

(c) voor elke aftelbaar oneindige rij disjuncte gebeurtenissen $(A_{i})$ geldt:

$P\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})$

Op deze drie rekenregels voor kansen berust de gehele kansrekening!

Opmerking

De axioma's van Kolmogorov zijn van toepassing op willekeurige uitkomstenruimten. In dit boek zullen we ons echter alleen met discrete uitkomstenruimten bezighouden.

In de vorige paragraaf hebben we al opgemerkt dat een kans volgens de definitie van Laplace voldoet aan de axioma's en dus terecht de naam kans verdient. Op welke andere manieren kunnen we nu een kans construeren? Voor discrete uitkomstenruimten kunnen we op natuurlijke wijze de kans $p(s)=P(\{s\})$ op een elementaire gebeurtenis vastleggen door de kansfunctie $p$.

Definitie 1.3.2

Zij $S$ een willekeurige (discrete) uitkomstenruimte. Een functie $p\colon S\to \mathbb {R}$ die aan iedere uitkomst $s$ een getal $p(s)$, dat we ook kans op $s$ noemen, toevoegt, heet kansfunctie als:

$p(s)\geq 0$

en

$\sum _{s\in S}p(s)=1$

We kunnen nu bij een kansfunctie een kans definiëren, door de kans op een gebeurtenis te berekenen als de som van de kansen op de uitkomsten die tot die gebeurtenis behoren. Dat zo inderdaad een kans gedefinieerd is blijkt uit de volgende stelling.

Stelling 1.3.1

Als $p$ een kansfunctie is op de uitkomstenruimte $S$, is de functie $P$, gedefinieerd voor iedere gebeurtenis $A$ door:

$P(A)=\sum _{s\in A}p(s)$

een kans op $S$.

Bij iedere kansfunctie $p$ op een discrete uitkomstenruimte $S$ hoort dus een kans $P$ op $S$. Omgekeerd hoort bij iedere kans $P$ op een discrete uitkomstenruimte $S$ een kansfunctie $p$ op $S$.

Stelling 1.3.2

Als P een kans is op de uitkomstenruimte $S$, dan is de functie $p\colon S\to \mathbb {R}$ gedefinieerd door:

$p(s)=P(\{s\})$

een kansfunctie.

Uit het voorgaande blijkt dus dat kansen $P$ en kansfuncties $p$ op een-eenduidige wijze bij elkaar horen.

Definitie 1.3.3

Zij $S$ een uitkomstenruimte en $P$ een kans op $S$, dan noemen we het paar $(S,P)$ een kansruimte. Ook het paar $(S,p)$, waarin $p$ de bij $P$ behorende kansfunctie is, zullen we als kansruimte aanduiden.

Voorbeeld 1 (alternatief; vervolg)

De uitkomstenruimte is $S=\{K,M\}$. We geven een willekeurige kansfunctie aan door $p(K)=1-p(M)=p$, met $0\leq p\leq 1$. Er zijn maar vier gebeurtenissen; de bij $p$ behorende kans $P$ kent daaraan de volgende kansen toe: $P(\varnothing )=0,\,P(\{K\})=p,\,P(\{M\})=1-p,\,P(S)=1$. We kunnen de kansruimte ook in een tabel geven:

$s$	$K$	$M$	$S$
$p(s)$	$p$	$1-p$	1

Voorbeeld 2 (zuivere dobbelsteen; vervolg)

De uitkomstenruimte is $S=\{1,2,3,4,5,6\}$. Voor een zuivere dobbelsteen is de kans op elke uitkomst gelijk, dus $p(1)=p(2)=...=p(6)=1/6$. De bijbehorende kans $P$ is gedefinieerd volgens Laplace, dus is bv. $P(E)=3/6$ voor de gebeurtenis $E=\{2,4,6\}$ (we gooien een even ogenaantal) en $P(D)=2/6$ voor $D=\{1,2\}$ (we gooien minder dan 3). Als tabel ziet de kansruimte er als volgt uit:

$s$	1	2	3	4	5	6	totaal
$p(s)$	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1

Voorbeeld 3 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)

De uitkomstenruimte is $S=\{(i,j)|i=1,2,\ldots ,6{\text{ en }}j=1,2,\ldots ,6\}$ en voor een zuivere dobbelsteen zijn alle 36 uitkomsten even waarschijnlijk, dus is $p(s)=1/36$ voor alle $s\in S$. De bijbehorende kans $P$ is weer gedefinieerd volgens Laplace; zo heeft de gebeurtenis $A=\{(1,3),(2,2),(3,1)\}$ (de som van de ogen van beide worpen is 4) een kans $P(A)=3/36$ van optreden.