Discrete Kansrekening/Basisbegrippen/Vraagstukken

1.5 Vraagstukken

A1. DK101

Ik kies een willekeurig natuurlijk getal (≠ 0) onder de 10. Beschrijf de uitkomstenruimte S.

A2. DK102

Beschrijf een gebeurtenis A in vraagstuk A1 als deelverzameling van S. Geef ook de complementaire gebeurtenis aan.

A3. DK103

Beschrijf nog een gebeurtenis B in vraagstuk A1 en bepaal de vereniging en doorsnede van uw A en B. Ga na of A en B disjunct zijn.

A4. DK104

Bepaal voor A en B uit vraagstuk A3 met de regels van De Morgan de gebeurtenis ${\overline {A\cup B}}$.

A5. DK105

Bij 1000 maal uitvoeren van het in opgave 1 genoemde experiment vind ik de getallen 1 t/m 9 respecievelijk 120, 83, 91, 135, 96, 98, 104, 142 en 131 maal. Bepaal voor uw A en B het frequentiequotiënt van A∪B.

A6. DK106

Een loterij heeft 100 loten uitgegeven. Beschrijf wat het betekent dat de loterij eerlijk is.

A7. DK107 (voorkennis; meetkundige reeks)

Zij $S_{n}=\sum _{k=0}^{n}r^{k}$ voor n=0,1,... Laat zien dat $\!\,(r-1)S_{n}=r^{n+1}-1$.

Toon aan dat hieruit volgt dat voor |r|<1: $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {1}{1-r}}$.

A8. DK108

Beschrijf de (discrete) kansruimte (S,p) voor het experiment uit vraagstuk A1 en laat zien dat p inderdaad een kansfunctie is.

A9. DK109

We gooien met twee zuivere dobbelstenen en beschouwen het totale aantal geworpen ogen; dus S = {2,3,...,12}. Geef de toepasselijke kansfunctie p op S en de kans op enkele gebeurtenissen.

B1. DK110

Beschrijf de uitkomstenruimten van de volgende experimenten.

a. Trek willekeurig een kaart uit een spel van 52 speelkaarten.
b. Trek willekeurig 5 kaarten uit een spel van 52.
c. Trek 5 kaarten en bepaal het aantal hartenkaarten.
d. Verdeel 52 kaarten eerlijk over 4 spelers.
e. Wijs willekeurig een Nederlands gezin aan.
f. Neem een steekproef van 100 Nederlandse gezinnen.
g. Ik stop 10 zaadjes van de tomatenplant in de grond en kijk hoeveel er opkomen.
h. Tel het aantal auto's die op een willekeurig gekozen tijdstip op een parkeerplaats staan.
i. Tel het aantal auto's en het aantal fietsen op een willekeurig tijdstip in de straat.

B2. DK111

Beschrijf in elk van de experimenten uit vraagstuk B1 een gebeurtenis als deelverzameling van de uitkomstenruimte.

B3. DK112

A, B en C zijn drie gebeurtenissen. Druk de volgende met A, B en C samenhangende gebeurtenissen uit in A, B en C:

a. A en B, maar C niet;
b. alle drie;
c. tenminste een van de drie;
d. tenminste twee;
e. geen enkele;
f. precies een van de drie;
g. niet meer dan twee.

B4. DK113

Is er bij het verdelen van de kaarten bij bridge sprake van symmetrie?

B5. DK114

Een roulette kent de nummers 1 t/m 36 en twee nullen. Wat zou volgens Laplace de kans op een even uitkomst zijn?

B6. DK115

Ga bij elk van de experimenten uit vraagstuk B1 na of van symmetrie sprake is.

B7. DK116

Een rood- en een witbloemige variëteit (met respectievelijk genotype RR en WW) van een bepaalde plantensoort worden gekruist. Beschrijf een kansruimte voor de tweede generatie nakomelingen.

B8. DK117

De kansruimte (S,p) is gegeven door $S=\{{\tfrac {1}{n}}|n=1,2,...\}$ en $p({\tfrac {1}{n}})=2^{-n}$. Zij voor n = 1,2,... $A_{n}=\{s|s<{\tfrac {1}{n}}\}$. Bepaal $P(\bigcup A_{n})$ en $\sum P(A_{n})$.

B9. DK118

Bewijs stelling 1.4.2.

B10. DK119

Generaliseer de algemene somregel voor n gebeurtenissen.

B11. DK120

Gegeven is dat P(A) = 1/2 en P(AB) = 1/3 ; bepaal $P({\overline {{\overline {A}}B}})$.

B12. DK122

Bewijs de stellingen 1.2.1 en 1.2.2.

B13. DK121

Bewijs de stellingen 1.3.1 en 1.3.2.