Discrete Kansrekening/Inleiding

Algemene opmerkingen

In natuur, techniek en samenleving treffen we veel verschijnselen aan die niet met zekerheid te voorspellen zijn, maar niettemin bepaalde wetmatigheden vertonen. Bijvoorbeeld de hoeveelheid neerslag op een bepaalde dag, het geslacht van een baby die geboren wordt, het defect raken van een auto. Deze verschijnselen kunnen we niet met zekerheid voorspellen. Toch weten we dat het in Nederland meer regent dan in Ethiopië, dat bijna de helft van de pasgeboren baby's meisjes zijn en dat een oude auto vaker defect raakt dan een nieuwe.

Kansrekening is een wiskundige theorie die zulke wetmatigheden beschrijft en bestudeert. Deze theorie is gebaseerd op enkele veronderstellingen waarvan we aannemen dat ze redelijk aansluiten bij de werkelijkheid. De juistheid van deze veronderstellingen wordt in de kansrekening echter nooit geverifieerd. De statistiek houdt zich bezig met methodes om de juistheid van veronderstellingen omtrent de werkelijkheid te verifiëren en de parameters van een probleem te "meten".

Een streng wiskundige behandeling van de kansrekening vereist het gebruik van maattheorie. In dit boek wordt geen maattheorie gebruikt, maar ligt de nadruk op een intuïtieve benadering. Kansrekening vindt toepassing in vele gebieden van wetenschap en techniek. We noemen slechts enkele voorbeelden: statistiek, statistische mechanica, operationele research, verzekeringswiskunde, econometrie, informatie- en communicatietheorie, biologie en psychologie.

Geschiedenis

De kansrekening is in de zeventiende eeuw ontstaan uit problemen in verband met het dobbelspel. Vragen van de dobbelende Chevalier DeMéré (1610-1685) werden in 1654 aanleiding tot een briefwisseling tussen Pascal (1623-1662) en Fermat (1601-1665). Een van de vragen luidde ongeveer: "Wat is waarschijnlijker: met één dobbelsteen in vier worpen minstens één zes te gooien óf met twee dobbelstenen in 24 worpen minstens één dubbelzes te gooien". De kansen op deze gebeurtenissen zijn ongeveer 0,5177 en 0,4914. Dat DeMéré door ervaring (en tot zijn verbazing) had geconstateerd dat de eerste kans groter dan een half was en de tweede kleiner dan een half, zegt wel iets over zijn hartstocht voor het dobbelen.

De frivole oorsprong van de kansrekening is nog altijd merkbaar in de moderne leerboeken en komt zeer duidelijk tot uiting in de vroegste literatuur. Het eerste boek over kansrekening werd in 1657 geschreven door Christiaan Huijgens (1629-1695): De ratiociniis in ludo aleae (Over berekeningen bij het dobbelspel). Andere boeken uit de begintijd zijn: Essai d'Analyse sur les Jeux de Hasard in 1708 door DeMontmort (1678-1719), Ars conjectandi (de kunst van het gissen (gokken?)) in 1713 door Jacob Bernoulli (1654-1705) en The Doctrine of Chances in 1718 door DeMoivre (1667-1754). Namen van anderen die in belangrijke mate hebben bijgedragen tot het ontstaan van de kansrekening, zijn Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855) en Poisson (1781-1840). De eerste definitie van het begrip "kans" werd gegeven door Laplace in zijn Théorie analytique des probabilités (1812). Van de zeer vele wiskundigen die de kansrekening verder hebben ontwikkeld, noemen we nog Chebyshev (1821-1894), Markov (1856-1922), Borel (1871-1956), Lévy (1886-1972), Khintchine (1895-1959), Bernstein (1878-1956), Fréchet (1878-1973), Kolmogorov (1903-1987) en Feller (1906-1970).

Literatuur

De volgende boeken bevatten ongeveer de stof die hier behandeld wordt en bovendien verdere uitbreidingen van de theorie:

C.R. Heathcote, Probability, Elements of the Mathematical Theory, George Allen & Unwin Ltd., London, 1971.
S.M. Ross, A First Course in Probability, 4th edition, MacMillan, New York, 1994.
A.J. Stam, Inleiding tot de waarschijnlijkheidsrekening, H. Stam, Haarlem 1964.
W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. I, Third Edition, Wiley, New York, 1968 (verkrijgbaar als paperback).

Terug naar Inhoud