Discrete Kansrekening/Momenten/De ongelijkheid van Chebyshev

7.5 De ongelijkheid van Chebyshev

Dat de variantie inderdaad een maat is voor de afwijkingen van de verwachting wordt gedemonstreerd door de ongelijkheid van Chebyshev (ook ongelijkheid van Bienaymé-Chebyshev genoemd). Deze ongelijkheid is vooral van theoretisch belang en laat zien dat de kans op afwijkingen van de verwachtingswaarde begrensd wordt in evenredigheid met de variantie.

Stelling 7.5.1 (ongelijkheid van Chebyshev)
Laat X een s.v. zijn met var X < ∞, dan geldt voor iedere ε > 0:

$P(|X-EX|>\epsilon )\leq {\frac {\mathrm {var} (X)}{\epsilon ^{2}}}$.

Bewijs:

$\mathrm {var} (X)=E(X-EX)^{2}=\sum _{x\in S_{X}}(x-EX)^{2}P(X=x)\geq \sum _{|x-EX|>\epsilon }(x-EX)^{2}P(X=x)>$

$>\sum _{|x-EX|>\epsilon }\epsilon ^{2}P(X=x)\geq \epsilon ^{2}.P(|X-EX|>\epsilon )$.

We kunnen deze ongelijkheid ook schrijven als:

$P(\left|{\frac {X-EX}{\sigma (X)}}\right|>\epsilon )\leq {\frac {1}{\epsilon ^{2}}}$,

waarin de s.v. X gestandaardiseerd is tot Z = (X-EX)/σ(X), dus met EZ = 0 en var Z = 1. Toepassing is dan blijkbaar alleen zinvol voor waarden van ε > 1, dus voor het afschatten van kansen op waarden van X die meer dan een keer de standaardafwijking van de verwachtingswaarde liggen.

Voorbeeld 1
Zij X B(100,1/5)-verdeeld, dan is EX = 20 en var X = 16. Volgens Chebyshev geldt dan: P(10 < X < 30) = P(|X-20| < 10) > 1 - 16/100 = 0,84. In werkelijkheid is deze kans (hetgeen we hier niet kunnen aantonen) ongeveer gelijk aan 0,994.

Voor praktische berekeningen heeft de ongelijkheid van Chebyshev, zoals het voorbeeld illustreert, weinig betekenis. Het belang ligt vooral in de theoretische toepassing bij het afschatten van kansen in een asymptotische situatie, zoals in de hierna volgende zwakke wet van de grote aantallen.