Discrete Kansrekening/Momenten/De zwakke wet van de grote aantallen

7.6 De zwakke wet van de grote aantallen

We zullen de ongelijkheid van Chebyshev gebruiken om een belangrijk resultaat uit de kansrekening, de zgn. zwakke wet van de grote aantallen, af te leiden. Deze wet laat zien dat de verdeling van het gemiddelde van een n-tal o.o. en gelijkverdeelde s.v.-en voor toenemede n meer en meer geconcentreerd wordt om de verwachtingswaarde. De wet berust op de ongelijkheid van Chebyshev en het feit dat als X₁,X₂,.... o.o. en gelijkverdeeld zijn:

$E{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}=EX_{1}$

en

$\mathrm {var} {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}={\frac {1}{n}}\mathrm {var} X_{1}$.

Stelling 7.5.2 (zwakke wet van de grote aantallen)
Zij X₁,X₂... een rij o.o. en gelijkverdeelde s.v.- en met verwachting EX en eindige variantie σ². Zij

${\overline {X_{n}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$,

dan geldt voor iedere ε > 0:

$\lim _{n\to \infty }P(|{\overline {X_{n}}}-EX|>\epsilon )=0$,

Bewijs: Zij ε > 0, dan volgt:

$P(|{\overline {X_{n}}}-EX|>\epsilon )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{n\epsilon ^{2}}}\to 0$, als n naar ∞.

We passen de zwakke wet eens toe op de situatie uit S 1.2, waar we onafhankelijke herhalingen van een experiment beschouwden en elke keer keken of een gebeurtenis A wel of niet was opgetreden. Zij p = P(A) en X_i = 1 als A bij de i herhaling optreedt en anders 0. De s.v.-en X₁, X₂,... zijn dan o.o. en gelijkverdeeld met EX_i= p en var X_i = p(1-p) < ∞. De som van de eerste n X'en is juist het aantal keren N(A) dat de gebeurtenis A bij de n herhalingen optreedt. Verder is:

${\overline {X_{n}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}=fq(A)$,

juist het frequentiequotiënt fq(A) van het optreden van A bij n uitvoeringen van het experiment, zoals we dat in par.1.2 ingevoerd hebben. De wet van de grote aantallen zegt nu dat voor alle ε > 0:

$\lim _{n\to \infty }P(|fq(A)-P(A)|>\epsilon )=0$,

dwz. het frequentiequotiënt van A convergeert met toenemende n in de zin van de zwakke wet naar de kans op A. Hiermee krijgt het intuïtieve uitgangspunt van het begrip kans, geformuleerd in de experimentele wet van de grote aantallen een solide basis. De theorie sluit dus, wat de wet van de grote aantallen betreft, goed aan bij de werkelijkheid (het experiment). Aangezien we de experimentele wet van de grote aantallen als uitgangspunt hebben genomen voor de opbouw van de theorie, verwachten we dat de theorie ook overigens tot praktisch bruikbare resultaten voert. De zwakke wet is uiteraard geen bewijs voor de experimentele wet; experimenteel gevonden resultaten zijn niet door de theorie te bewijzen.