Discrete Kansrekening/Momenten/Inleiding

7.1 Inleiding

In het voorgaande hebben we ons beziggehouden met de verwachtingswaarde van een s.v. en opgemerkt dat EX een maat is om het "midden" van de verdeling van X te karakteriseren. Behalve het "midden" van de verdeling willen we ook andere aspecten van de verdeling van X karakteriseren door een of ander getal. Daartoe blijken de verwachtingswaarden van gehele machten van X, de zgn. momenten, geschikte grootheden te zijn. Deze momenten spelen ook in de voortgezette theorie een belangrijke rol.

Definitie 7.1.1
Onder het n^e moment van een s.v. X verstaan we het getal EXⁿ. Onder het n^e centrale moment van X verstaan we het getal E(X-EX)ⁿ. (mits deze verwachtingswaarden bestaan).

We kunnen zeggen dat over het algemeen naast het eerste moment EX als aanduiding van de "ligging" van de verdeling van X, van de hogere momenten de centrale momenten een belangrijke rol spelen om de "vorm" van de verdeling van X te karakteriseren. Dat is ook begrijpelijk, want de "vorm" van de verdeling verandert niet als we de verdeling verschuiven, dwz. als we in plaats van X de s.v. X + b beschouwen. Het ligt dan voor de hand om naar de verdeling van X - EX te kijken, waarvan de "ligging" om 0 is.

Niet alle momenten van een s.v. hoeven te bestaan. De volgende stelling zegt daar iets over.

Stelling 7.1.1
Als van een s.v. X het n^e moment bestaat, dan bestaan ook het n^e centrale moment en alle lagere momenten en centrale momenten.

Bewijs: Voor k ≤ n geldt:

$|x|^{k}\leq 1+|x|^{n}$,

dus

$\sum _{x\in S_{X}}|x|^{k}p_{X}(x)\leq 1+\sum _{x\in S_{X}}|x|^{n}p_{X}(x).$.

Verder is

$|X-EX|^{n}=|\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}X^{k}(-EX)^{n-k}|\leq \sum _{k}{n \choose k}|X|^{k}|EX|^{n-k}$.