Discrete Kansrekening/Momenten/Variantie en standaardafwijking

7.2 Variantie en standaardafwijking

Wij zullen ons, naast de "ligging" van de verdeling van X, slechts bezighouden met de "spreiding" in die verdeling. Met spreiding bedoelen we de mate waarin de waarden van X onderling nog kunnen verschillen. We spreken ook wel van de "breedte" van de verdeling, aangezien meer spreiding in de waarden van X de verdeling breder maakt, of ook wel van de "schaal" van de verdeling. Om de spreiding te meten, moeten we nagaan hoe de waarden van X nog uiteen kunnen lopen; we doen dat door te kijken naar de mate waarin de waarden van X nog kunnen afwijken van het "midden", dus van EX. Die afwijkingen worden gegeven door de s.v. |X-EX|, dus door de afstanden die X nog tot EX kan hebben. Hoewel ook de verwachtingswaarde van die afstanden, dus E|X-EX|, als maat voor spreiding in aanmerking komt, is het gebruikelijk de verwachte kwadratische afstand, dus het tweede centrale moment E(X-EX)², als maat te nemen. Deze grootheid wordt variantie genoemd.

Definitie 7.2.1
Het tweede centrale moment van X noemen we de variantie van X en we duiden het aan door var X, dus

$\mathrm {var} \,X=E(X-EX)^{2}.$

Omdat de variantie een kwadratische grootheid is, wordt, als X in cm is gemeten, de variantie in cm² uitgedrukt. Dit is in de praktijk een bezwaar; dit wordt nog duidelijker als we de variantie van bv. 10X bepalen, dan blijkt dat var 10X = 100·var X; dus een schaalverandering met een factor 10 levert voor de maat van die schaal een factor 100. vandaar dat we ook vaak de wortel uit de variantie, die we standaardafwijking noemen, als maat voor spreiding zullen gebruiken.

Definitie 7.2.2
Onder de standaardafwijking (of standaarddeviatie) van een s.v. X, aangeduid doorσ σ_X (of: σ(X)), verstaan we de grootheid:

$\sigma _{X}={\sqrt {\mathrm {var} \,X}}.$

Voor de berekening van var X kunnen we soms handig gebruik maken van de volgende formule, die eenvoudig uit de definitie van var X volgt.

Stelling 7.2.1 (rekenformule voor variantie)
Voor de variantie van een s.v. X geldt:

$\mathrm {var} \,X=E(X^{2})-(EX)^{2}.$

Overigens is enige voorzichtigheid bij berekeningen met deze formule geboden. Behalve door rekenfouten, ontstaat ook door vroegtijdige of te grove afronding van tussenresultaten gemakkelijk een onnauwkeurige waarde voor de variantie, soms zelfs een negatieve waarde.

We laten in een voorbeeld enige berekeningen zien.

Voorbeeld 1 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)
In de onderstaande tabel staat de verdeling van M en zijn tevens de nodige berekeningen uitgevoerd om var M te bepalen.

$m$	$P(M=m)$	$mP(M=m)$	$m-EM$	$(m-EM)^{2}$	$(m-EM)^{2}P(M=m)$	$m^{2}P(M=m)$
1	1/36	1/36	–125/36	15625/1296	15625/46656	1/36
2	3/36	6/36	– 89/36	7921/1296	23763/46656	12/36
3	5/36	15/36	– 53/36	2809/1296	14045/46656	45/36
4	7/36	28/36	– 17/36	289/1296	2023/46656	112/36
5	9/36	45/36	19/36	361/1296	3249/46656	225/36
6	11/36	66/36	55/36	3025/1296	33275/46656	396/36
totaal	36/36	161/36			91980/46656	791/36

We zien dat: EM = 161/36 en

$\mathrm {var} \,M=E(M-EM)^{2}=\sum _{m=1}^{6}(m-{\frac {161}{36}})^{2}\cdot P(M=m)={\frac {91980}{46656}}\approx 1{,}97.$

Met de rekenformule krijgen we eveneens:

$\mathrm {var} \,M=EM^{2}-(EM)^{2}=\sum _{m=1}^{6}m^{2}P(M=m)-(EM)^{2}={\frac {791}{36}}-({\frac {161}{36}})^{2}={\frac {91980}{46656}}.$

Voor de standaardafwijking volgt dan:

$\sigma _{M}={\sqrt {\mathrm {var} \,M}}={\sqrt {\frac {91980}{46656}}}=1{,}40.$

We berekenen ook var Z:

$z$

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

totaal

$P(Z=z)$

1/36

2/36

3/36

4/36

5/36

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

36/36

$zP(Z=z)$

2/36

6/36

12/36

20/36

30/36

42/36

40/36

36/36

30/36

22/36

12/36

252/36

$z^{2}P(Z=z)$

4/36

18/36

48/36

100/36

180/36

294/36

320/36

324/36

300/36

242/36

144/36

1974/36

Dus

$\mathrm {var} \,Z=EZ^{2}-(EZ)^{2}={\frac {1974}{36}}-49={\frac {210}{36}}=5{\tfrac {5}{6}}$

en

$\sigma _{Z}={\sqrt {\mathrm {var} \,Z}}={\sqrt {\frac {210}{36}}}=2{,}42.$

Merk op dat de spreiding in Z groter is dan in M.

De volgende eigenschappen van variantie zijn van belang.

Stelling 7.2.2 (eigenschappen van variantie en standaardafwijking)
Voor de variantie van een s.v. X geldt:

(a) var X ≥ 0 en σ_X ≥ 0

(b) als var X = 0, dan is X ontaard (dwz. P(X=EX) = 1)

(c) var(aX + b) = a²var X en σ(aX+b) = |a| σ_X, voor alle a en b.

Bewijs: (c) var(aX+b) = E(aX+b - E(aX+b))² = E(aX + b - aEX - b)² = a²E(X-EX)² = a²var X.

Voorbeeld 2 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)
We berekenden

$\mathrm {var} \,Z=EZ^{2}-(EZ)^{2}=5{\tfrac {5}{6}}$

en

$\sigma _{Z}={\sqrt {\frac {210}{36}}}=2{,}42.$

Nu is Z = X + Y, waarin X en Y, de uitkomsten van de afzonderlijke worpen, gelijk verdeeld zijn. We weten al dat de verdeling van X + Y een andere is dan van X + X = 2X; dit blijkt ook nog als we de variantie van 2X berekenen:

$\mathrm {var} (2X)=2^{2}\mathrm {var} \,X=4\sum _{x=1}^{6}(x-{\tfrac {7}{2}})^{2}{\tfrac {1}{6}}=4\times {\tfrac {105}{36}}=11{\tfrac {2}{3}}.$

Vergelijk deze waarde met var Z.