Discrete Kansrekening/Momenten/Variantie van bekende discrete verdelingen

7.3 Variantie van bekende discrete verdelingen

Als vervolg op paragraaf 6.2 sommen we in deze paragraaf de varianties van enkele bekende discrete verdelingen op.

Stelling 7.3.1

1. Ontaarde verdeling.

$\mathrm {var} \,X=0$.

2. Alternatieve verdeling (in 0 en 1; p_X(1) = p).

$\mathrm {var} \,X=p(1-p)$.

3. Uniforme verdeling (op de getallen x₁,x₂,...,x_N).

$\mathrm {var} \,X={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$.

4. Binomiale verdeling (met parameters n en p).

$\mathrm {var} \,X=np(1-p)$.

5. Hypergeometrische verdeling (met parameters N, M en n).

$\mathrm {var} \,X=n{\frac {M}{N}}{\frac {N-M}{N}}{\frac {N-n}{N-1}}=np(1-p){\frac {N-n}{N-1}}$.

waarin we p = M/N gesteld hebben.

6. Geometrische verdeling (met parameter p).

$\mathrm {var} \,X={\frac {1-p}{p^{2}}}$.

7. Poisson-verdeling (met parameter μ).

$\mathrm {var} \,X=\mu$.

We zien dat de variantie van de hypergeometrische verdeling op een factor (N-n)/(N-1) na gelijk is aan de variantie van de binomiale verdeling; deze factor heet correctiefactor voor eindige populatie. Deze factor heet zo omdat bij trekkingen zonder terugleggen uit een dichotome populatie (dwz. een populatie met twee kenmerken, bv succes of mislukking) het aantal successen X bij een eindige populatie hypergeometrisch verdeeld is en bij een niet-eindige populatie (of als we trekken met terugleggen) binomiaal.