Discrete Kansrekening/Momenten/Vraagstukken

7.7 Vraagstukken

A1. DK701

Zij X het aantal ogen dat met een zuivere dobbelsteen geworpen wordt.
a. Bereken het tweede moment en het derde centrale moment van X.
b. Bereken ook σ(X).

A2. DK702

De simultane kansverdeling p_X,Y(i,j) van X en Y wordt voor 0 ≤ a ≤ 1 gegeven in de volgende tabel.

——————————————————————————
   j    0     1      2
 i
——————————————————————————
 0     a/4    0     a/4
 
 1  (1-a)/4  a/2  (1-a)/4
 
 2     0   (1-a)/2   0
——————————————————————————

a. Bereken ρ(X,Y).
b. Voor welke waarde(n) van a zijn X en Y ongecorreleerd?
c. Voor welke waarde(n) van a zijn X en Y o.o.?

A3. DK703

Bepaal $\mathrm {var} \sum _{i=1}^{n}X_{i}$, als
a. X_i = X voor i = 1,2,...,n;
b. X₁,X₂,...,X_n o.o. zijn en alle dezelfde kansverdeling hebben als X.

A4. DK704

De s.v. X is homogeen verdeeld op de getallen 1,2,3,4,5. teken de grafiek van de volgende twee functies van a (a>0):

P(|X-EX|>a)

en

(var X)/a².

Geef commentaar n.a.v. de ongelijkheid van Chebyshev.

A5. DK705

Bereken voor de door de tabel bepaalde simultane verdeling p_X,Y(x,y) de covariantie van X en Y, alsmede de correlatiecoëfficiënt van X en Y.

——————————————————————————
   y   -1      0      1
 x
——————————————————————————
-1     0,1    0,2    0,3
 1     0,2    0,1    0,1
——————————————————————————

A6. DK706

We trekken met terugleggen n knikkers uit een vaas met M witte en N-M rode knikkers. Het getrokken aantal witte noemen we X.
a. Bereken var X voor (M,N,n)=(4,11,7). We doen ook n trekkingen zonder terugleggen; het aantal getrokken witte noemen we nu Y.
b. Bereken eveneens var Y voor dezelfde M,N en n.
c. Hoe moet bij de gebruikte waarden van M en N de variabele n gekozen worden, opdat de varianties in beide gevallen gelijk zijn?

A7. DK707

Bereken voor de multinomiaal verdeelde vector (X₁,X₂,X₃,X₄) met parameters n=10, m=4, p₁=p₂=1/4, p₃=1/3 en p₄=1/6 de correlatiecoëfficiënten ρ(X₁,X₄) en ρ(X₂,X₃).

A8. DK708

Toon aan dat $\mathrm {cov} \left({\frac {X-EX}{\sigma (X)}},{\frac {Y-EY}{\sigma (Y)}}\right)=\rho (X,Y).$

B1. DK709

Zij X een s.v. waarvan het derde moment bestaat. Druk het derde centrale moment van X uit in het eerste, tweede en derde moment van X.

B2. DK710

Ga na dat de gegeven uitdrukkingen voor de varianties van de verschillende verdelingen in stelling 7.3.1. juist zijn.

B3. DK711

Bewijs stelling 7.4.2.a — d.

B4. DK712

Bewijs dat voor iedere s.v. X en voor iedere a>0 geldt:

$P(|X|>a)<-{\tfrac {1}{a}}E|X|.$

B5. DK713

We werpen driemaal een zuivere munt. Zij X het aantal malen kruis minus het aantal malen munt en Y=X².
a. Zijn X en Y onderling onafhankelijk?
b. Bereken cov(X,Y).

B6. DK714

De simultane verdeling van X en Y wordt gegeven door P(X=±1,Y=±1)=1/4.
a. Bereken cov(X,Y).
b. Zijn X en Y o.o.? Beantwoord dezelfde vragen voor het geval dat de verdeling gegeven wordt door P(X=x,Y=y)=1/4 voor (x,y)=(1,0),(-1,0), (0,-1) of (0,1).

B7. DK715

Geef een simultane verdeling van afhankelijke s.v.-en X en Y met
a. cov(X,Y) = 0,
b. cov(X,Y) = 9.

B8. DK716

Een vaas bevat 3 rode en 5 zwarte knikkers. Zonder teruglegging nemen we 4 knikkers uit de vaas. Zij X het aantal weggenomen rode en Y het aantal zwarte.
a. Bereken ρ(X,Y)
b. Vind a, b en c zodanig dat P(aX+bY=c) = 1.

B9. DK717

De s.v. Y kan m verschillende waarden p₁,...,p_m aannemen (0<p_i<1). Gegeven Y=p is de s.v. X B(n,p)-verdeeld.
a. Bepaal E(X|Y) als functie van Y en bepaal z'n verdeling.
b. Laat zien dat ρ(X,Y) = n σ(Y)/σ(X).

B10. DK718

Een vaas bevat N knikkers, waarvan er M rood zijn. We trekken zonder teruglegging n knikkers en definiëren X_k=1 of 0 al naar gelang de k-e getrokken knikker rood is of niet. Bereken ρ(X_i,X_j) voor i≠j.

B11. DK719

In een rij Bernoulli-experimenten met succeskans p (0<p<1) stelt N de wachttijd op het eerste succes voor. Als het eerste succes de n-e keer optreedt doet de experimentator nog eens n pogingen. Met X geven we het aantal successen aan bij deze pogingen.
a. Bepaal P(X=0).
b. Bepaal E(X|N) en z'n verdeling.
c. Toon aan dat E(XN|N) = N·E(X|N).
d. Bereken ρ(N,X).

B12. DK720

De s.v.-en X en Y zijn onderling onafhankelijk en beide Poisson-verdeeld met parameter respectievelijk 2 en 4. Zij Z=X+Y.
a. Toon aan dat Z Poisson-verdeeld is met parameter 6.
b. Bepaal de voorwaardelijke verdeling van X gegeven Z=z.
c. Bepaal E(X|Z) en controleer de relatie E(E(X|Z)) = EX.
d. Bereken ρ(X,Z)

B13. DK721

De s.v.-en X en Y hebben een simultane verdeling. We definiëren var(X|Y) op analoge wijze als E(X|Y). Toon aan dat

var X = var E(X|Y) + E var(X|Y)