Discrete Kansrekening/Simultane kansverdelingen/Gelijkverdeelde stochastische variabelen

5.5 Gelijkverdeelde stochastische variabelen

Twee s.v.-en X en Y kunnen, hoewel ze verschillend zijn en mogelijk op geheel verschillende kansruimten gedefinieerd zijn, toch dezelfde kansverdeling hebben.

Voorbeeld 1
We werpen een zuivere dobbelsteen en noemen het ogenaantal X. Als we Y = 7 - X stellen, is Y verschillend van X, maar heeft dezelfde kansverdeling als X.

Voorbeeld 2
Zij X binomiaal verdeeld met parameters n en 1/2, en stel Y = n - X; dan zijn X en Y verschillend, maar hebben dezelfde verdeling.

Definitie 5.5.1
We noemen twee stochastische variabelen of vectoren X en Y gelijkverdeeld (of isomoor) en schrijven X ~ Y, als X en Y dezelfde kansverdeling hebben, dus als S_X = S_Y en p_X = p_Y.

We kunnen soms handig gebruik maken van gelijkverdeelde s.v.-en. Als nl. X en Y gelijkverdeeld zijn, zijn ook X² en Y² of X-3 en Y-3 gelijkverdeeld. Algemeen geldt:

Stelling 5.5.1
Als X en Y gelijkverdeeld zijn, dan zijn ook g(X) en g(Y) gelijkverdeeld.

We geven een toepassing.

Voorbeeld 3
Laat X en Y o.o. zijn en beide binomiaal verdeeld met parameters resp. m en p en n en p. In de vorige paragraaf hebben we berekend dat X+Y ook binomiaal verdeeld is, maar met parameters m+n en p. We kunnen dit resultaat ook op eenvoudiger wijze verkrijgen. Laat Z₁,...,Z_m,Z_m+1,...,Z_m+n o.o. gelijkverdeelde alternatieven zijn met succeskans p, dus P(Z=1) = 1 - P(Z=0) = p. We weten al dat X ~ Z₁+...+Z_m en Y ~ Z_m+1+...+Z_m+n en dus, vanwege de onafhankelijkheid, dat (X,Y) ~ (Z₁+...+Z_m, Z_m+1+...+Z_m+n). We mogen nu concluderen dat X + Y ~ Z₁+...+Z_m+n, dus dat X + Y binomiaal verdeeld is met parameters m+n en p.