Discrete Kansrekening/Simultane kansverdelingen/Onderling onafhankelijke stochastische variabelen

5.3 Onderling onafhankelijke stochastische variabelen

In het voorgaande hebben we gezien hoe we uit de simultane verdeling van een stel s.v.-en marginale verdelingen kunnen bepalen. Omgekeerd is het in het algemeen niet mogelijk de simultane verdeling van bv. een tweetal s.v.-en X en Y af te leiden uit de marginale verdeling van elk. In een speciaal geval is dit wel mogelijk en is de simultane kansfunctie van een n tal s.v.-en eenvoudig het product van de marginale kansfuncties van elk. Dit is het geval als de s.v.-en onderling onafhankelijk zijn. Dit begrip is geheel analoog aan de definitie van onafhankelijke gebeurtenissen en onderling onafhankelijke experimenten. Voor twee s.v.-en X en Y kunnen we van willekeurige gebeurtenissen {X∈B₁} betreffende X en {Y∈B₂} betreffende Y nagaan of ze al dan niet afhankelijk zijn. Als voor elke keuze van B₁ en B₂ de genoemde gebeurtenissen onafhankelijk zijn, ligt het voor de hand om X en Y onderling onafhankelijk te noemen.

Definitie 5.3.1
De s.v.-en X₁,X₂,...,X_n heten (onderling) onafhankelijk (afgekort tot o.o.) als de gebeurtenissen {X₁∈ B₁},{X₂∈ B₂},...,{X_n∈ B_n} onderling onafhankelijk zijn voor iedere B₁⊂ S_X , B₂⊂ S_X , ..., B_n⊂ S_X . Als het n-tal niet onderling onafhankelijk is, heten ze afhankelijk.

Als de s.v.-en X en Y onderling onafhankelijk zijn kunnen we de simultane verdeling afleiden uit de marginale verdelingen van X en van Y, want de gebeurtenissen {X=x} en {Y=y} zijn voor elke x en y onafhankelijk, dus: P(X=x en Y=y) = P(X=x).P(Y=y). Algemeen geldt voor een n-tal:

Stelling 5.3.1
Als de s.v.-en X₁,X₂,...,X_n onderling onafhankelijk zijn, geldt:

$p_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=p_{X_{1}}(x_{1})p_{X_{2}}(x_{2})...p_{X_{n}}(x_{n})$, voor alle $x_{1}\in S_{X_{1}},x_{2}\in S_{X_{2}},...,x_{n}\in S_{X_{n}}$.

Voorbeeld 1
De s.v.-en X₁,X₂,...,X_n zijn o.o. en hetzelfde verdeeld als X met P(X=1) = 1 - P(X=0) = p. De simultane verdeling wordt dan gegeven door:

$p_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=p_{X_{1}}(x_{1})p_{X_{2}}(x_{2})...p_{X_{n}}(x_{n})=p^{\sum x_{i}}(1-p)^{n-\sum x_{i}}$,

voor x_i = 0 of 1 voor alle i.

Stelling 5.3.1 is ook karakteristiek voor onderling onafhankelijke s.v.-en. Omgekeerd geldt nl. ook dat een n-tal s.v.-en onderling onafhankelijk is als de simultane verdeling het product is van de marginale verdelingen van elk.

Stelling 5.3.2
De s.v.-en X₁,X₂,...,X_n zijn onderling onafhankelijk indien voor alle $x_{1}\in S_{X_{1}},x_{2}\in S_{X_{2}},...,x_{n}\in S_{X_{n}}$ geldt:

$p_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=p_{X_{1}}(x_{1})p_{X_{2}}(x_{2})...p_{X_{n}}(x_{n})$.

Voorbeeld 2 (twee worpen met dobbelsteen; vervolg)
We noemen de uitkomst van de eerste worp X en van de tweede Y. Voor elke x = 1,2,...,6 en y = 1,2,...,6 geldt: P(X=x en Y=y) = 1/36 = P(X=x).P(Y=y); dus X en Y zijn onderling onafhankelijk.

Het totale ogenaantal Z (= X + Y) en het maximale ogenaantal M (= max(X,Y)) zijn afhankelijk, want bv. P(Z=5 en M=3) = 2/36 ≠ P(Z=5).P(M=3) = 4/36 × 5/36.

Zoals we al eerder opmerkten is de analogie tussen onafhankelijke s.v.-en en onafhankelijke experimenten opvallend; praktisch gesproken is er dan ook geen verschil en kunnen we een bepaalde situatie op beide manieren beschrijven.

Voorbeeld 3 (twee worpen met dobbelsteen; vervolg)
Beschrijven we het experiment als opgebouwd uit twee onafhankelijke deelexperimenten, dan zijn de gebeurtenissen die alleen betrekking hebben op de eerste worp onafhankelijk van gebeurtenissen betreffende de tweede worp en bijgevolg zijn X en Y onderling onafhankelijke s.v.-en.

We kunnen het experiment ook beschrijven door X en Y als o.o. s.v.-en te geven, dus door voor x,y = 1,2,...,6 te stellen dat P(X=x en Y=y) = 1/36. Het gevolg is dat de beide worpen als deelexperimenten gezien onafhankelijk zijn.