Discrete Kansrekening/Simultane kansverdelingen/Voorwaardelijke kansverdelingen

5.2 Voorwaardelijke kansverdelingen

Bij de simultane verdeling van twee s.v.-en X en Y kunnen we ook voorwaardelijke kansen op waarden van de ene gegeven de waarde van de andere beschouwen, dus bv. P(X=3|Y=0). Deze voorwaardelijke kans is gewoon gedefinieerd als de voorwaardelijke kans op de gebeurtenis {X=3} gegeven de gebeurtenis {Y=0}, dus indien P(Y=0) > 0, door:

$P(X=3|Y=0)={\frac {P(X=3{\mbox{ en }}Y=0)}{P(Y=0)}}$.

De kansen op de verschillende waarden van X onder de voorwaarde {Y=0} duiden we dan aan als de voorwaardelijke verdeling van X gegeven Y=0. We zullen eerst eens een voorbeeld bespreken.

Voorbeeld 1
De simultane verdeling van X en Y wordt gegeven door:

$P(X=x{\mbox{ en }}Y=y)={\tfrac {1}{y}}(1-{\tfrac {1}{y}})^{x-1}({\tfrac {1}{2}})^{y}$, voor x = 1,2,... en y = 2,3,...

We kunnen nu voor y = 2,3,... de voorwaardelijke verdeling van X, gegeven Y=y, bepalen:

$P(X=x|Y=y)={\frac {P(X=x{\mbox{ en }}Y=y)}{P(Y=y)}}={\frac {{\tfrac {1}{y}}(1-{\tfrac {1}{y}})^{x-1}({\tfrac {1}{2}})^{y}}{P(Y=y)}}$, voor x = 1,2,...

Nu is:

$P(Y=y)=\sum _{x=1}^{\infty }{\tfrac {1}{y}}(1-{\tfrac {1}{y}})^{x-1}({\tfrac {1}{2}})^{y}={\tfrac {1}{y}}({\tfrac {1}{2}})^{y}\sum _{x=1}^{\infty }(1-{\tfrac {1}{y}})^{x-1}=({\tfrac {1}{2}})^{y}$,

dus

$P(X=x|Y=y)={\tfrac {1}{y}}(1-{\tfrac {1}{y}})^{x-1}$, voor x = 1,2,...

Hieruit blijkt dat X onder de voorwaarde Y=y geometrisch verdeeld is met parameter 1/y.

We geven nu een algemene definitie:

Definitie 5.2.1
Laat X, Y en Z de componenten zijn van de stochastische vector V. Onder de voorwaardelijke kansfunctie van X gegeven (dat) Y=y en Z=z, verstaan we de functie: p_X(.|Y=y en Z=z), gedefinieerd (mits de noemer ≠ 0) door:

p_X(x|Y=y en Z=z) = P(X=x|Y=y en Z=z) = p_X,Y,Z(x,y,z)/p_Y,Z(y,z).

Voorbeeld 2 (twee worpen met dobbelsteen; vervolg)
De voorwaardelijke verdeling van het totale ogenaantal Z gegeven dat het maximale ogenaantal M=3, kunnen we dus bepalen uit de rij m=3 in de tabel van de simultane verdeling van Z en M; deze rij staat hieronder nog eens opgeschreven.

	$z$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$m$													$P(M=m)$
3				2/36	2/36	1/36							5/36

We berekenen bv:

p_Z(5|M=3) = P(Z=5|M=3) = P(Z=5 en M=3)/P(M=3)= (2/36)/(5/36) = 2/5.

We moeten dus het element in de rij (de simultane kans) delen door het getal in de marge (de marginale kans); zo krijgen we:

$z$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	totaal
$P(Z=z|M=3)$	0	0	2/5	2/5	1/5	0	0	0	0	0	0	1

Voorbeeld 3 (multinomiale verdeling; vervolg)
We nemen het geval m=3 en noemen de s.v.-en weer X,Y en Z. We stellen n₀ = n₁+ n₂ = n - n₃ en p₀ = p₁ + p₂. Voor de voorwaardelijke verdeling van X en Y, gegeven Z, dus gegeven dat Z = n₃, vinden we voor n₁,n₂ ≥ 0:

$p_{X,Y}(n_{1},n_{2}|Z=n_{3})={\frac {p_{X,Y,Z}(n_{1},n_{2},n_{3})}{p_{Z}(n_{3})}}={\frac {{\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!}}p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}p_{3}^{n_{3}}}{{\frac {n!}{n_{0}!n_{3}!}}p_{0}^{n_{0}}p_{3}^{n_{3}}}}={\frac {n_{0}!}{n_{1}!n_{2}}}\left({\frac {p_{1}}{p_{0}}}\right)^{n_{1}}\left({\frac {p_{2}}{p_{0}}}\right)^{n_{2}}$

dus ook een multinomiale verdeling (binomiale), maar met parameters n₀, 2 en p₁/p₀ en p₂/p₀.

In de praktijk zullen we veelal niet de voorwaardelijke kansverdelingen uit de simultane verdeling afleiden, maar zal het experiment zijn opgebouwd uit successievelijk uitgevoerde deelexperimenten. De voorwaardelijke verdelingen leiden we dan af uit de deelexperimenten en vervolgens berekenen we uit deze voorwaardelijke verdelingen de simultane verdeling.

Voorbeeld 4
We werpen een dobbelsteen zolang tot we 6 gooien. Het aantal benodigde worpen noemen we Y. Daarna werpen we de dobbelsteen nog eens even veel keren en noteren het aantal malen X dat we 6 gooien. Het gehele experiment bestaat dus uit twee deelexperimenten. Het eerste kunnen we beschrijven door de s.v. Y die een geometrische verdeling met parameter p = 1/6 heeft. Het tweede deelexperiment is afhankelijk van het eerste; als we bij het eerste de uitkomst Y = y hebben gevonden, beschrijft de s.v. X, met voorwaardelijk gegeven Y = y een binomiale verdeling met parameters y en 1/6, het tweede. Dus:

$P(Y=y)=({\tfrac {5}{6}})^{y-1}{\tfrac {1}{6}}$, voor y = 1,2,...

en

$P(X=x|Y=y)={y \choose x}({\tfrac {1}{6}})^{x}({\tfrac {5}{6}})^{y-x}$, voor x = 0,1,...,y.

We kunnen nu de simultane verdeling van X en Y als volgt bepalen:

$P(X=x{\mbox{ en }}Y=y)=P(X=x|Y=y)P(Y=y)={y \choose x}({\tfrac {1}{6}})^{x+1}({\tfrac {5}{6}})^{2y-x-1}$,

voor y = 1,2,... en x = 0,1,...,y.