Discrete Kansrekening/Stochastische variabelen/Vraagstukken

4.4 Vraagstukken

A1. DK400

Beschouw de discrete kansruimte (S,P) behorend bij het werpen met een zuivere dobbelsteen. Ga in elk van de volgende gevallen na of X een stochastische variabele is.

a. X(s)=s, voor s=1,2,3 en X(s)=-s, voor s=4,5,6.
b. X(s)=s², voor s=1,...,5.
c. X(s)=√(6-s²) , voor s=1,...,6.
d. X(s)=1/s, voor s=1,...,6.
e. X(s)=1/(s-1), voor s=1,...,6.

A2. DK401

Bepaal in elk van de gevallen in het vorige vraagstuk waar X een s.v. is, de waardenverzameling S_X en de kansfunctie p_X.

A3. DK402

Uit een vaas met M witte en N-M rode knikkers wordt een aselecte steekproef met teruglegging van omvang n genomen. Bereken met behulp van de binomiale verdeling de kans op k witte knikkers voor het geval (M,N,n,k)=(4,11,7,3).

A4. DK403

Zelfde opdracht als in vraagstuk A3, maar nu zonder teruglegging en m.b.v. de hypergeometrische verdeling.

A5. DK404

Uit de vaas van vraagstuk A3 trekken we net zo lang met teruglegging een knikker totdat we een witte knikker getrokken hebben. Bereken m.b.v. de geometrische verdeling de kans dat we hierdoor k trekkingen nodig hebben voor het geval (M,N,k)=(4,11,10).

A6. DK405

Als de s.v. X Poisson-verdeeld is met parameter m, vind dan P(X=k) voor het geval dat m=4,5 en k=2. Vind tevens voor deze m de waarde van k waarvoor P(X=k) maximaal is.

A7. DK406 (voorkennis; binomium van Newton)

Waaraan is $\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$ gelijk?

A8. DK407 (voorkennis; Taylor-ontwikkeling)

Wat is de reeksontwikkeling voor e^x rond x=0? En voor 1/(1-x)?

B1. DK408

Zij S={1,2,...,N} en p(s)=1/N. Bepaal de verdeling van de stochastische variabelen X₁, X₂, X₃ en X₄ gegeven door:

X₁(s)=s²,

X₂(s)=|2s-N|,

X₃(s)=sin(½πs),

X₄(s)=1 als s deelbaar is door 3 en 0 anders.

B2. DK409

Bewijs stelling 4.2.1.

B3. DK410

In een vaas bevinden zich N knikkers genummerd 1,2,...,N. Lukraak worden uit de vaas, zonder teruglegging, n (n<N) knikkers getrokken. Zij nu X het nummer van de knikker die het hoogste nummer heeft van de getrokken knikkers. Bepaal de kansfunctie van X.

B4. DK411

Toon aan dat in par. 4.3 genoemde verdelingen inderdaad tot 1 sommeren.

B5. DK422

Bewijs stelling 4.3.3.

B6. DK412

Bewijs stelling 4.3.6.

B7. DK413

a. Bepaal mbv. de tabel de volgende kansen: P(X<2), P(X=2) en P(X=1); daarin heeft X een B(20;0,1)-verdeling.
b. Bereken ter controle deze kansen m.b.v. de kansfunctie van X.
c. Benader de kansen uit a m.b.v. de tabel van de Poisson-verdeling.

B8. DK414

De kans dat we bij schijfschieten de roos raken is p. We gaan zolang door met schieten tot we twee keer de roos geraakt hebben. Beschouw onze pogingen om de roos te raken als Bernoulli-pogingen. Bepaal de kansverdeling van het aantal schoten N.

B9. DK415

Bij een Pools regiment huzaren worden jaarlijks enkele huzaren dodelijk door een trap van een paard getroffen. Noem dit (stochastische) aantal N. Over een lange periode blijken er gemiddeld 4 huzaren per jaar door een paard doodgetrapt te worden.

a. Wat zal de verdeling van N zijn?
b. Bepaal de kans dat in een jaar slechts 1 huzaar dodelijk wordt getroffen.
c. Bepaal ook de kans dat in een jaar meer dan 8 huzaren dodelijk getroffen worden.

B10. DK416

Een tentamen bestaat uit 20 4-keuzevragen. De studente Liesbeth gaat volkomen onvoorbereid naar het tentamen en raadt maar wat naar de antwoorden. Wat is de kans dat Liesbeth bij meer dan de helft van de vragen het goede antwoord aanstreept?

B11. DK417

Een colporteur gaat de deuren langs om een pannenset te verkopen. Hij weet dat hij gemiddeld bij 1 op de 10 pogingen succes heeft. Zodra hij één set heeft verkocht, houdt hij er voor die dag mee op.

a. Bepaal de kans dat hij op een dag niet meer dan 20 adressen hoeft te bezoeken voor hij naar huis kan.
Omdat het op een dag te laat werd, heeft hij die dag geen set verkocht. Hij besluit de volgende dag twee sets te verkopen.
b. Bepaal de kans dat hij daartoe ten minste 20 adressen moet bezoeken.

B12. DK418

In een textielfabriek wordt het geproduceerde katoenen weefsel op weeffouten onderzocht. Er blijken gemiddeld per 100 m² 3 weeffouten voor te komen. Bepaal de kans dat een willekeurig stuk katoen van 40 m² geen weeffouten vertoont.

B13. DK419

In een grabbelton zitten 80 pakjes met een verrassing waarvan 10 relatief waardevol zijn. Harm-Jan mag 3 keer grabbelen; hoe groot is de kans dat hij een waardevol pakje zal treffen?

B14. DK420

Een scholengemeenschap telt 1100 leerlingen, waaronder 585 meisjes. Voor een opiniepeiling over de schoolkrant wordt aan willekeurig 100 leerlingen een vragenlijst voorgelegd.

a. Wat is de verdeling van het aantal meisjes M in de steekproef?
b. Geef een benadering voor de kans dat in de steekproef geen meisjes voorkomen.

B15. DK421

Bij 1 op de 1000 baby's die worden geboren komt de erfelijke afwijking PKU voor. Bereken de kans dat bij de volgende 3500 geboorten ten hoogste 1 baby is met PKU.