Discrete Kansrekening/Verwachtingswaarde/Verwachting van functies van stochastische variabelen

6.3 Verwachting van functies van stochastische variabelen

Vaak moeten we de verwachting bepalen van een functie van een of meer s.v.-en. We kijken eerst eens naar een voorbeeld.

Voorbeeld 1
We werpen zolang een zuivere munt tot we "munt" gooien. De s.v. N stelt het benodigde aantal worpen voor. N is geometrisch verdeeld met parameter 1/2. Als we n worpen nodig hadden, krijgen we een bedrag 2^-n uitbetaald. Noem de uitbetaling X; de uitbetaling is een functie van N, nl. X = 2^-N. Voor de verwachte uitbetaling vinden we:

$EX=\sum _{x\in S_{X}}x\;P(X=x)={\tfrac {1}{2}}P(X={\tfrac {1}{2}})+{\tfrac {1}{4}}P(X={\tfrac {1}{4}})+{\tfrac {1}{8}}P(X={\tfrac {1}{8}})+...$.

Nu is

$P(X=2^{-n})=P(N=n)=({\tfrac {1}{2}})^{n}$,

dus

$EX=\sum _{n=1}^{\infty }({\tfrac {1}{2}})^{n}({\tfrac {1}{2}})^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }({\tfrac {1}{4}})^{n}={\frac {\tfrac {1}{4}}{1-{\tfrac {1}{4}}}}={\tfrac {1}{3}}$.

We zien dat we op vanzelfsprekende wijze kunnen schrijven:

$EX=E2^{-N}=\sum _{n=1}^{\infty }({\tfrac {1}{2}})^{n}P(N=n)$,

waarin EX is uitgedrukt in de verdeling van N. We hoeven dan niet eerst na te gaan wat de verdeling van X is.

Wat we in het voorbeeld hebben gezien, geldt heel algemeen, en wordt verwoord in de volgende stelling.

Stelling 6.3.1
Laat X₁,...,X_n s.v.-en zijn en $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, dan is

$Eg(X_{1},...,X_{n})=\sum _{x_{1},...,x_{n}}g(x_{1},...,x_{n})P(X_{1}=x_{1},...,X_{n}=x_{n})$,

waarbij dus gesommeerd wordt over alle mogelijke waarden (x₁,...,x_n) van (X₁,...,X_n).

Bewijs: Noem X = (X₁,...,X_n) en x = (x₁,...,x_n). Dan geldt voor de s.v. g(X):

$Eg(X)=\sum _{s\in S}g(X(s))p(s)=\sum _{x}g(x)P(X=x)$

We hoeven dus als we de verwachting van een functie Y = g(X) van X willen bepalen, niet eerst de verdeling van Y te berekenen, maar kunnen met bovenstaande stelling Eg(X) direct via de verdeling van X bepalen.

Voorbeeld 2 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)
We kunnen Z en M opvatten als functies van de ogenaantallen X en Y van resp. de eerste en tweede worp: Z = X + Y en M = \max(X,Y). We berekenen:

$EZ=E(X+Y)=\sum _{x=1}^{6}\sum _{y=1}^{6}(x+y)P(X=x\ en\ Y=y)={\tfrac {1}{36}}\sum _{x=1}^{6}\sum _{y=1}^{6}(x+y)=7$

en

$EM=E\max(X,Y)=\sum _{x=1}^{6}\sum _{y=1}^{6}\max(x,y)P(X=x\ en\ Y=y)={\tfrac {1}{36}}\sum _{x=1}^{6}\sum _{y=1}^{6}\max(x,y)=$

$={\tfrac {1}{36}}\sum _{m=1}^{6}m(2m-1)={\tfrac {161}{36}}$,

waarbij we bij de laatste sommatie bedenken dat er (2m-1) punten (x,y) zijn waarvoor \max(x,y) = m.

Merk op dat E(X + Y) = EX + EY; in een volgende paragraaf zullen we zien dat deze relatie algemeen geldt.

We vergelijken het resultaat met een berekening van EZ en EM via de verdelingen van Z en M:

$EZ=\sum _{z=2}^{12}z.P(Z=z)=2\times {\tfrac {1}{36}}+2\times {\tfrac {3}{36}}+4\times {\tfrac {3}{36}}+\ldots +12\times {\tfrac {1}{36}}=7$

en

$EM=\sum _{m=1}^{6}m.P(M=m)=1\times {\tfrac {1}{36}}+2\times {\tfrac {3}{36}}+...+6\times {\tfrac {11}{36}}={\tfrac {161}{36}}$.