Discrete Kansrekening/Voorwaardelijke kans en onafhankelijkheid/Onafhankelijke gebeurtenissen

3.2 Onafhankelijke gebeurtenissen

Als ik willekeurig een Nederlander aanwijs, zal het voor de kans dat ik iemand uit Friesland aanwijs, geen verschil maken of ik weet dat ik een vrouw zal aanwijzen. anders wordt het als ik weet dat degene die ik aanwijs, blond haar heeft. Er zijn immers relatief meer blonde Friezen dan blonde Nederlanders. Als het optreden van een gebeurtenis B geen invloed uitoefent op de kans van optreden van een andere gebeurtenis A, dus als P(A|B) = P(A), zeggen we dat A onafhankelijk is van B. Omgekeerd geldt dan ook dat het optreden van A geen invloed heeft op de kans van optreden van B, want uit P(A|B) = P(A) volgt dat ook P(B|A) = P(AB)/P(A) = P(A|B)P(B)/P(A) = P(B).

Dus als A onafhankelijk is van B, is ook B onafhankelijk van A. We zeggen daarom dat A en B (onderling) onafhankelijk zijn. Daarbij laten we vaak de toevoeging "onderling" weg, hoewel dat strikt genomen niet juist is. Omdat beide relaties P(A|B) = P(A) en P(B|A) = P(B) ook equivalent zijn met de relatie P(AB) = P(A)P(B), gebruiken we deze laatste voor de definitie.

Definitie 3.2.1
De gebeurtenissen A en B heten (onderling) onafhankelijk (afgekort o.o.) als P(AB) = P(A)P(B).

Opmerking 1
Het begrip onafhankelijk wordt nog al eens verward met het begrip disjunct. Twee disjuncte gebeurtenissen A en B, dus met AB = ∅, kunnen echter alleen dan onderling onafhankelijk zijn, als een van beide kans 0 heeft, immers dan is P(A)P(B) = 0 = P(∅) = P(AB).

Voorbeeld 1
Uit een spel van 52 speelkaarten trekken we lukraak één kaart. H is de gebeurtenis dat de getrokken kaart een hartenkaart is en B is de gebeurtenis dat de getrokken kaart een boer is. Dan geldt P(H) = 13/52 = 1/4 en P(B) = 4/52 = 1/13. Omdat HB de gebeurtenis is dat we de hartenboer trekken, is P(HB) = 1/52 = P(H).P(B). De gebeurtenissen H en B zijn dus onderling onafhankelijk.

In het voorbeeld kunnen we de onafhankelijkheid van twee gebeurtenissen aantonen. Vaak echter kennen we de kansen niet en besluiten we op andere gronden tot onderlinge onafhankelijkheid van twee gebeurtenissen. Als gevolg kunnen we dan de kans op het gelijktijdig optreden van beide gebeurtenissen berekenen als het product van de kansen op elk afzonderlijk.

Voorbeeld 2
Een apparaat bestaat uit twee componenten. A₁ is de gebeurtenis dat de ene component werkt en A₂ de gebeurtenis dat de tweede werkt. Het apparaat werkt slechts als beide componenten werken en we hebben goede redenen om aan te nemen dat het werken van de ene component geen invloed heeft op het werken van de andere, dwz. dat A₁ en A₂ o.o. zijn. Onder deze modelveronderstelling geldt voor de kans dat het apparaat werkt: P(A₁A₂) = P(A₁).P(A₂).

Voorbeeld 3 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)
We werpen tweemaal achtereen een dobbelsteen. Zij A de gebeurtenis dat we de eerste keer een 5 werpen en B de gebeurtenis dat we de tweede keer een 3 of meer werpen. Als we uitgaan van een zuivere dobbelsteen, is P(A) = 1/6 en P(B) = 2/3. Gaan we ervan uit dat A en B onafhankelijk zijn, hetgeen aannemelijk lijkt omdat A betrekking heeft op de eerste worp en B op de tweede, dan volgt: P(AB) = P(A)P(B) = 1/6 × 2/3 = 1/9.

Merk op dat we in het bovenstaande twee veronderstellingen maakten tav. ons kansmodel, namelijk dat de dobbelsteen zuiver is en dat gebeurtenissen die alleen betrekking hebben op de tweede worp, onafhankelijk zijn van gebeurtenissen die alleen betrekking hebben op de eerste worp. Deze veronderstellingen samen zijn equivalent met de veronderstelling dat we met een symmetrische kansruimte van doen hebben. Immers zij A_i de gebeurtenis dat we de eerste keer i ogen gooien en B_j de gebeurtenis dat we de tweede keer j ogen gooien, dan geldt op grond van de zuiverheid van de dobbelsteen dat P(A_i) = P(B_j) = 1/6 en op grond van de onafhankelijkheid dat P(A_iB_j) = P(A_i).P(B_j) = 1/36. We hadden dus de kans op de gebeurtenis AB ook kunnen bepalen door de kansdefinitie van Laplace te gebruiken. De beschreven methode van berekening, die direct gebruik maakt van de onderlinge onafhankelijkheid van de beide gebeurtenissen, is echter veelal eenvoudiger.

Ook in het geval van meer dan twee gebeurtenissen willen we over onafhankelijkheid spreken. Er zijn dan verscheidene mogelijkheden.

Definitie 3.2.2
De gebeurtenissen A₁,A₂,... heten paarsgewijs onafhankelijk als elk tweetal onderling onafhankelijk is.

Paarsgewijze onafhankelijkheid sluit echter de mogelijkheid van een zekere afhankelijkheid tussen gebeurtenissen niet uit, zoals uit het volgende voorbeeld blijkt.

Voorbeeld 4
We werpen tweemaal achtereen een zuivere munt. De uitkomstenruimte is S = {KK,KM,MK,MM} en elk van deze uitkomsten heeft kans 4. Zij A de gebeurtenis "de eerste keer kruis", B de gebeurtenis "de tweede keer kruis" en C de gebeurtenis "beide keren hetzelfde", dus A = {KK,KM}, B = {KK,MK} en C = {KK,MM}. A, B en C zijn paarsgewijs onafhankelijk, immers P(AB) = 1/4 = P(A)P(B), P(AC) = 1/4 = P(A)P(C) en P(BC) = 1/4 = P(B)P(C). Echter P(C|AB) = 1 ≠ P(C), dus de gebeurtenis AB = {KK} (dwz. A en B samen) geeft "informatie" over C.

Om elke vorm van afhankelijkheid tussen de gebeurtenissen A, B en C uit te sluiten, zullen we dus meer moeten eisen dan paarsgewijze onafhankelijkheid. Er zal bv. ook moeten gelden dat P(A|BC) = P(A), dus dat P(ABC) = P(A)P(B)P(C). Deze laatste eis echter blijkt op zich weer niet voldoende om paarsgewijze onafhankelijkheid af te dwingen.

Voorbeeld 5 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)
We werpen tweemaal een zuivere dobbelsteen. Zij A de gebeurtenis dat de eerste worp 1, 2 of 3 ogen en B de gebeurtenis dat de eerste worp 3, 4 of 5 ogen oplevert. C is de gebeurtenis dat de som van het aantal ogen 9 is, dus C = {(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}. P(A) = P(B) = 1/2 en P(C) = 1/9. De doorsnede ABC = {(3,6)}, dus P(ABC) = 1/36 = 1/2×1/2×1/9 = P(A)P(B)P(C), terwijl P(AB) = 1/6 ≠ 1/2 × 1/2 = P(A)P(B) P(BC) = 1/36 ≠ 1/2 × 1/9 = P(B)P(C) en P(AC) = 1/36 ≠ 1/2 × 1/9 = P(A)P(C). A, B en C zijn dus niet paarsgewijs onafhankelijk.

We noemen A, B en C daarom pas onderling onafhankelijk als voor elk tweetal én voor het drietal de kans op de doorsnede te schrijven is als het product van de afzonderlijke kansen. Voor een eindige of aftelbaar oneindige rij gebeurtenissen A₁,A₂,A₃,... zullen we deze eis moeten opleggen aan elk tweetal, drietal, viertal, etc.

Definitie 3.2.3
De gebeurtenissen A₁,A₂,... heten (onderling) onafhankelijk (afgekort o.o.), als voor elke eindige deelrij $A_{i_{1}},A_{i_{2}},\dots ,A_{i_{k}}(k\geq 2)$, geldt:

$P(A_{i_{1}}A_{i_{2}}\dots A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}})P(A_{i_{2}})\dots P(A_{i_{k}})$.

Als twee gebeurtenissen A en B o.o. zijn, dan zijn ook A^c en B o.o., A en B^c en ook A^c en B^c. Soortgelijke eigenschappen kan men ook voor meer dan twee gebeurtenissen bewijzen. Als A, B, C en D o.o. zijn, dan zijn "disjuncte combinaties" zoals bv. AB en C∪D ook o.o., immers P(AB(C∪D)) = P(ABC ∪ ABD) = P(ABC) + P(ABD) - P(ABCD) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(D) - P(A)P(B)P(C)P(D) = P(A)P(B){[P(C) + P(D) - P(CD)} = P(AB)P(C∪D). Ook andere disjuncte combinaties, zoals AB∪C en D zijn dan o.o.

Stelling 3.2.1
Als A₁,A₂,... onderling onafhankelijk zijn, dan zijn ook disjuncte combinaties van deze gebeurtenissen o.o.