Discrete Kansrekening/Voorwaardelijke kans en onafhankelijkheid/Samengestelde experimenten

3.3 Samengestelde experimenten

Vaak bestaat een kansexperiment uit een opeenvolging van een reeks deelexperimenten, zoals bv. bij het herhaald uitvoeren van een bepaald (deel)experiment. We zullen dan de kansstructuur (dwz. de kansruimte) van elk van de deelexperimenten kennen en daaruit de kansstructuur van het totale experiment afleiden.

Voorbeeld 1
We gooien drie keer een zuivere munt. Elke worp afzonderlijk kunnen we beschrijven door een copie van de symmetrische kansruimte (S₀,p₀), met S₀ = {K,M} en p₀(K) = p₀(M) = 1/2. Het totale experiment zal als uitkomstenruimte hebben: S = {KKK,KKM,KMK,MKK,KMM,MKM,MMK,MMM} en als de experimenten onafhankelijk zijn, zal het totale experiment ook symmetrisch zijn, dus p(s) = 1/8, voor alle s ∈ S. Het totale experiment is samengesteld uit drie onafhankelijke deelexperimenten (S₁,p₁), (S₂,p₂) en (S₃,p₃), met S_i= S₀ en p_i= p₀. Er geldt: S = S₁ × S₂ × S₃ en p(s₁,s₂,s₃) = p₁(s₁).p₂(s₂).p₃(s₃). In deze laatste relatie zien we de onafhankelijkheid van de experimenten weerspiegeld.

Wat we in het voorbeeld zien geeft ons aanleiding tot de volgende definitie.

Definitie 3.3.1
Laat voor i = 1,2,...,n de kansruimten (S_i,p_i) gegeven zijn. Zij S = S₁× S₂×....× S_n en p(s₁,s₂,...,sn) = p₁(s₁).p₂(s₂)...p_n(s_n), dan noemen we (S,p) de productruimte van de kansruimten {(S_i,p_i)}.

Gemakkelijk kunnen we zien dat de productruimte weer een kansruimte is.

Stelling 3.3.1
De productruimte (S,p) van de kansruimten {(S_i,p_i)|i=1,2,...,n} is een kansruimte.

We zullen een experiment dat bestaat uit de successievelijke uitvoering van onafhankelijke deelexperimenten (dwz. deelexperimenten die elkaar niet beïnvloeden), beschrijven door de productruimte van de kansruimten van de deelexperimenten.

Definitie 3.3.2
Laat voor i = 1,2,...,n het experiment E_i beschreven worden door de kansruimte (S_i,p_i). We zeggen dat het experiment E samengesteld is uit de onafhankelijke deelexperimenten E₁,E₂,...,E_n, als de kansruimte (S,p) van E de productruimte is van (S₁,p₁), (S₂,p₂), ..., (S_n,p_n).

We zullen nu aantonen dat in de produkruimte de deelexperimenten inderdaad "onafhankelijk" van elkaar zijn, in die zin dat gebeurtenissen die alleen op de afzonderlijke deelexperimenten betrekking hebben o.o. zijn. Daarbij doet zich nog een formele moeilijkheid voor die we aan de hand van een voorbeeld verduidelijken.

Voorbeeld 1 (vervolg)
De gebeurtenis "de eerste worp leverde kruis op" geven we in het eerste experiment weer als de deelverzameling A = {K} van S₁. In het samengestelde experiment wordt deze gebeurtenis voorgesteld door A^* = {KKK,KKM,KMK,KMM}, die we ook kunnen we schrijven als: A^* = {K} × {K,M} × {K,M} = A × S₂× S₃. De beide gebeurtenissen A en A^*; zijn dus weliswaar formeel verschillende verzamelingen, maar stellen praktisch gezien dezelfde gebeurtenis voor.

Definitie 3.3.3
Laat voor i = 1,2,...,n de kansruimten (S_i,p_i) gegeven zijn. Bij de gebeurtenis A in (S_i,p_i) definiqren we de gebeurtenis A^* in de productruimte door: A^* = S₁× ... × S_i-1 × A × S_i+1 × ... × S_n.

We zullen praktisch geen onderscheid maken tussen de gebeurtenis A in een deelexperiment en de gebeurtenis A^* in het experiment voorgesteld door de productruimte. Zo zal in het samengestelde experiment de kans op A^* gelijk zijn aan de kans op A in het deelexperiment.

Stelling 3.3.2
Laat voor i = 1,2,...,n de kansruimten (S_i,p_i) gegeven zijn. Zij A een gebeurtenis in (S_i,p_i), dan geldt in de productruimte (S,p) P(A^*) = P_i(A).

Bewijs:

$P(A^{*})=\sum _{s\in A^{*}}p(s)=\sum _{s\in A^{*}}p(s_{1},...,s_{n})=\sum _{s\in A^{*}}p_{1}(s_{1})...p_{n}(s_{n})=$

$=\sum _{s_{1}\in S_{1}}p_{1}(s_{1})...\sum _{s_{i-1}\in S_{i-1}}p_{i-1}(s_{i-1})\sum _{s_{i}\in A}p_{i}(s_{i})\sum _{s_{i+1}\in S_{i+1}}p_{i+1}(s_{i+1})...\sum _{s_{n}\in S_{n}}p_{n}(s_{n})=P_{i}(A)$.

We kunnen nu laten zien dat in een experiment dat is samengesteld uit onafhankelijke deelexperimenten, gebeurtenissen die alleen betrekking hebben op de afzonderlijke deelexperimenten onderling onafhankelijk zijn.

Stelling 3.3.3
Laat voor i = 1,2,...,n de kansruimten (S_i,p_i) met daarin een gebeurtenis A_i gegeven zijn. Dan zijn in de productruimte de gebeurtenissen A₁^*,...,A_n^* onderling onafhankelijk.

Bewijs: Voor een greep van k indices, waarvoor we voor het gemak 1,...,k nemen, geldt:

$P(A_{1}^{*}\cap ...\cap A_{k}^{*})=P(A_{1}\times \cdots \times A_{k}\times S_{k+1}\times \cdots \times S_{n})=$

$=\sum _{s\in \cdots }p(s_{1},...,s_{n})=\sum _{s\in \cdots }p_{1}(s_{1})...p_{n}(s_{n})=$

$=\sum _{s_{1}\in A_{1}\cdots s_{k}\in A_{k}}p_{1}(s_{1})...p_{k}(s_{k})=P_{1}(A_{1})\cdots P_{k}(A_{k})=P(A_{1}^{*})\cdots P(A_{k}^{*})$.

We zullen als belangrijke toepassing het herhaald uitvoeren van een experiment met slechts twee mogelijke uitkomsten bekijken. We kunnen daarbij denken aan het werpen van een munt, of het trekken met terug- leggen uit een dichotome populatie (dwz. een populatie die in tweeqn is gedeeld, bv. mannen en vrouwen, geslaagd en niet-geslaagd, etc.).

Definitie 3.3.4
Onder een Bernoulli-experiment (of alternatief) verstaan we een experiment met slechts twee mogelijke uitkomsten. Die uitkomsten zullen we algemeen aanduiden als succes en mislukking (Jacob Bernoulli, nagelaten werk, 1713).

Herhalen we enkele keren hetzelfde Bernoulli-experiment, zo, dat de experimenten onafhankelijk zijn, dan spreken we van Bernoulli-pogingen.

Definitie 3.3.5
Onder Bernoulli-pogingen verstaan we onderling onafhankelijke herhalingen van een Bernoulli-experiment.

We zullen steeds het onderliggende Bernoulli-experiment beschrijven door de uitkomstenruimte S₀= {0,1}, waarin 0 de uitkomst "mislukking" voorstelt en 1 de uitkomst "succes", en de kansfunctie p₀, gegeven door de kans op succes p = p₀(1) = 1 - p₀(0).

We kunnen nu op twee manieren Bernoulli-pogingen uitvoeren:

(a) een vast aantal, zeg n, keren; we moeten dan maar afwachten hoeveel keer we succes hebben.

(b) net zolang doorgaan tot we succes hebben; we moeten dan maar afwachten hoeveel experimenten we moeten doen.

In het eerste geval wordt de kansruimte gegeven door de productruimte S = {0,1}ⁿ, en p(s) = p^∑s(1-p)^{n-∑ s}. Een uitkomst beschrijven we dus door een rijtje 0'en en 1'en, en de kans op zo'n rijtje door het product van zoveel factoren p als het aantal 1'en en nog zoveel factoren (1-p) als het aantal 0'en. We noemen de gebeurtenis dat we in precies k van de deelexperimenten succes hebben, B_k; dus B_k= {s| ∑ s_i= k}. Alle uitkomsten die tot B_k behoren, hebben dezelfde kans p^k(1-p)^n-k en tot B_k behoren de uitkomsten die we krijgen door k van de n plaatsen aan te zijzen als succes. De kans op B_k wordt gegeven in de volgende stelling.

Stelling 3.3.4(binomiale formule)
De kans op precies k successen bij n Bernoulli-pogingen met succeskans p, wordt voor k = 0,1,...,n gegeven door

$b_{k}={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$.

In geval b herhalen we het Bernoulli-experiment net zolang tot we succes hebben. We kunnen dit experiment beschrijven door willekeurig veel Bernoulli-pogingen en de gebeurtenis C_n dat we n pogingen moeten doen om succes te vinden, beschrijven door alle rijtjes die beginnen met n-1 keer een 0 en gevolgd door een 1, dus C_n = {s|s_i= 0 voor i < n en s_n = 1} Aangezien de deelexperimenten o.o. zijn geldt voor de kans op C_n:

Stelling 3.3.5 (geometrische formule)
De kans g_n dat bij Bernoulli-pogingen met succeskans p het eerste succes bij de n-e poging is, wordt voor n = 1,2,3,... gegeven door:

$\,g_{n}=(1-p)^{n-1}p$.

We kunnen ook experimenten tegenkomen die zijn samengesteld uit afhankelijke deelexperimenten. We zullen geen formele beschrijving geven van zo'n experiment in termen van de deelexperimenten. Hoe de kansruimte gekozen moet worden volgt van geval tot geval uit de beschrijving van het experiment.

We beschrijven ter vergelijking met Bernoulli-pogingen het trekken zonder terugleggen uit een dichotome populatie. We gebruiken het vaasmodel en nemen een vaas gevuld met M rode knikkers en N-M witte. We doen n trekkingen en duiden het trekken van een rode knikker aan als "succes". Een uitkomst kunnen we ook nu beschrijven door een rijtje 0'en en 1'en. Daarbij moeten we echter bedenken dat mogelijk niet elk rijtje kan voorkomen, aangezien er maximaal M 1'en en N-M 0'en ter beschikking zijn. We noemen de gebeurtenis dat we m keer succes hebben, dus dat we precies m rode knikkers trekken, H_m. We kunnen de kans op H_m berekenen: door te bedenken dat de m "successen" uit de M rode komen en de n-m "mislukkingen" uit de N-M witte. In totaal moeten we n trekkingen doen uit het totaal van N.

	rode	witte	totaal
populatie	$M$	$N-M$	$N$
steekproef	$m$	$n-m$	$n$

Stelling 3.3.6 (hypergeometrische formule)
De kans h_m op m successen bij n trekkingen zonder terugleggen uit een dichotome populatie van omvang N, waaronder M successen, wordt voor m = 0,1,...,n gegeven door:

$h_{m}={\frac {{M \choose m}{N-M \choose n-m}}{N \choose n}}$.

Daarbij is de vanzelfsprekende veronderstelling gemaakt dat

${n \choose k}=0$, als k > n.