Overbrengingsregels/Vermenigvuldigen

Vermenigvuldigen

In de vorige paragrafen heb je gezien hoe je bij optellen en aftrekken de onbekende kunt isoleren. In deze paragraaf kijk je naar de werkwijze bij vermenigvuldigen. De volgende paragraaf gaat over delen. De centrale gedachte van de algebra blijft gelden:

Het gelijkteken geeft aan dat wat aan de linkerkant ervan staat evenveel waard is als wat aan de rechter kant ervan staat.
Als je links en rechts van het gelijkteken dezelfde bewerking uitvoert blijft de gelijkheid waar.

Het idee is: zorg dat het getal dat op een vervelende plek staat geen bijdrage meer levert aan de waarde van die plek. Bij optellen en aftrekken is dat: zorg dat het nul wordt. Ergens nul bij optellen of aftrekken heeft geen effect op de waarde.

Bij vermenigvuldigen en delen kun je niet de nul gebruiken. Vermenigvuldig je iets met nul dan is de uitkomst altijd nul. Probeer je iets door nul te delen dan geldt: Delen door nul is flauwekul. Bij vermenigvuldigen en delen werkt de 1 wel. Iets keer 1 levert hetzelfde getal op, en bij delen door één geldt hetzelfde.

Vermenigvuldigen

Voorbeeld Voor 7 autostoelovertrekken betaal je € 105.00, hoeveel kost één hoes? Als je de prijs van één hoes "h" noemt, wordt de wiskundige vorm van deze vraag: Isoleer "h" uit:

\mathrm {7\ \times \ h\ =\ 105}

Verg. 1

De 7 staat hier op de verkeerde plek. Van de 7 kun je 1 maken door te delen door 7. Maar dat moet dan zowel links als rechts van het gelijkteken.

\mathrm {{\frac {7\times \ h}{7}}\ =\ {\frac {105}{7}}}

Verg. 2

Vergelijking 2 laat goed zien dat je alles wat links van het gelijkteken staat door 7 deelt! Je kunt de vergelijking ook schrijven als

\mathrm {\left({\frac {7}{7}}\right)\ \times \ h\ =\ {\frac {105}{7}}}

Verg. 3

Het stukje tussen haakjes laat zich makkelijk uitrekenen, net als het stuk aan de rechter kant van het gelijkteken:

\mathrm {\left(\,1\,\right)\ \times \ h\ =\ 15}

Verg. 4

En zoals al eerder gezegd: vermenigvuldigen met één levert het getal weer op:

\mathrm {h\ =\ 15}

Verg. 5

Waarmee de opdracht "isoleer h" is uitgevoerd en weet je hoeveel één autostoelhoes kost: € 15.00.

En nu met woorden en letters

Vergelijking 1 wordt dan:

\mathrm {(aantal\ hoezen)\ \times \ (prijs\ per\ autostoelhoes)\ =\ totaalprijs}

Verg. 6

In deze vergelijking zie je meteen dat het lastig is om steeds met hele woorden en halve zinnen te moeten werken. De letters die je bij optellen en aftrekken gebruikt hebt werken veel handiger. Je kunt de woorden en halve zinnen door losse letters vervangen. Bijvoorbeeld:

n = (aantal hoezen): De letter "n" wordt in formules vaak voor "aantal" gebruikt. Bij rekenen in het laboratorium is de letter "n" in formules met de mol gebruikt om het aantal deeltjes aan te geven: het aantal mol.
h = (prijs per stoelhoes): In het vorige voorbeeld werkte dat prima.
t = totaalprijs

Vergelijking 6 laat zich zo een stuk eenvoudiger noteren. Ook de haakjes kunnen nu vervallen, want losse letters horen uiteraard bij zichzelf. De betekenis van vergelijking 6 en 7 is uiteraard precies gelijk. Wiskundig blijft de opdracht ook gelijk: Isoleer "h" in onderstaande vergelijking.

\mathrm {n\ \times \ h\ =\ t}

Verg. 7

Opnieuw zie je dat het aantal (n) het probleem is. Je gaat dus door het aantal delen. Links en rechts:

\mathrm {{\frac {n\ \times \ h}{n}}\ =\ {\frac {t}{n}}}

Verg. 8

of, als je de breuk aan de linkerkant iets anders schrijft:

\mathrm {\left({\frac {n}{n}}\right)\ \times \ h\ =\ {\frac {t}{n}}}

Verg. 9

Maar een getal delen door zichzelf levert altijd 1 op. De breuk tussen de haken aan de linkerkant van het gelijkteken is dus altijd 1.^[1] Vermenigvuldigen met 1 levert het oorspronkelijke getal weer op, dus:

\mathrm {h\ =\ {\frac {t}{n}}}

Verg. 10

Je kunt nu de formule invullen met de getallen die je weet en uitrekenen. De hoezen kosten nog steeds € 15.00 .

\mathrm {h\ =\ {\frac {t}{n}}\ =\ {\frac {105}{7}}\ =\ 15}

Verg. 11

Vorige pagina

Inhoudsopgave

Volgende pagina

↑ Heel eigenlijk moet hier het voorbehoud gemaakt worden van $\mathrm {n\ \neq \ 0}$ . In situaties waarin de toekomstige laborant gebruik maakt van deze overbrengingsregel is het onwaarschijnlijk dat de betreffende grootheid de waarde nul heeft.

[1] Heel eigenlijk moet hier het voorbehoud gemaakt worden van $\mathrm {n\ \neq \ 0}$ . In situaties waarin de toekomstige laborant gebruik maakt van deze overbrengingsregel is het onwaarschijnlijk dat de betreffende grootheid de waarde nul heeft.

[1]