Rekenen/Reële getallen

In de decimale voorstelling van ${\sqrt {2}}$ en ${\sqrt {3}}$ gaan de decimalen altijd maar verder, zonder dat er een herhaling optreedt. Het zijn dus geen breuken, geen rationale getallen. We noemen ze daarom irrationale getallen, wat niets anders betekent dan niet-rationale getallen, "niet als een breuk te schrijven" getallen.

Intermezzo

Dat ${\sqrt {2}}$ niet als een breuk te schrijven is, kan op elegante wijze aangetoond worden. Stel namelijk dat het wel kan, dus dat er gehele getallen t (teller) en n (noemer) zijn waarvoor geldt dat de breuk $t/n$ niet vereenvoudigd kan worden en

${\sqrt {2}}={\frac {t}{n}}.$

Dan is

$2=\left({\frac {t}{n}}\right)^{2},$

of anders geschreven

$2n^{2}=t^{2}.$

We zien dat $t^{2}$ even is, dus moet $t$ zelf even zijn. Stel $t=2s$, dan volgt:

$2n^{2}=4s^{2}$,

dus ook $n$ is even. Maar dat kan niet, want $t/n$ kon niet vereenvoudigd worden. Conclusie: ${\sqrt {2}}$ is geen rationaal getal.

Een eenvoudig voorbeeld van een irrationaal getal is:

$x=0{,}1010010001000010000010\ldots =$

$=0{,}1+0{,}001+0{,}000001+0{,}0000000001+\ldots =$

$=0{,}1^{1}+0{,}1^{3}+0{,}1^{6}+0{,}1^{10}+0{,}1^{15}+\ldots$,

steeds een 0 meer tussen de 1-en.

De decimalen eindigen niet en er is ook geen herhaling, dus het is een irrationaal getal.

Door de decimale voorstelling zien we dat:

$0{,}10<x<0{,}11$

$0{,}101<x<0{,}102$

$0{,}1010<x<0{,}1011$

We kunnen x opsluiten tussen de stijgende rij breuken

0,10 - 0,101 - 0,1010 - 0,10100 - 0,101001 - ...

en de dalende rij breuken

0,11 - 0,102 - 0,1011 - 0,10101 - 0,101002 - .

beide rijen komen willekeurig dicht bij elkaar en dus bij x.

We kunnen gewoon rekenen met x, bv,:

3x = 0,3030030003000030000030...

99x = 9,9990990099000990...,   dus bijna 10.

x2 = x · x = x(0,1 + 0,001 + 0,000001 + 0,0000000001 + \ldots ) =
  0,0101001000100001000001000... +
  0,0001010010001000010000010... +
  0,0000001010010001000010000... +
  0,0000000000101001000100001... +
  ...
    =
  0,010201202021...

Nog een voorbeeld; 0,12345678910111213141516171819202122232425....

We weten precies welk cijfer op een bepaalde plaats achter de komma staat. Het aantal decimalen is onbeperkt en er treedt geen herhaling op. Dus een irrationeel getal. Het getal ligt tussen

0,1 en 0,2

0,12 en 0,13

0,123 en 0,124

0,1234 en 0,1235

...

0,12345678910 en 0,12345678911

enz.

Omdat elk irrationaal getal willekeurig dicht benaderd kan worden door een decimale breuk, dus door een rationaal getal, kunnen we voor bijna alle praktische toepassingen volstaan met de rationale getallen.

Het blijkt dat ieder irrationaal getal willekeurig dicht te benaderen is met een stijgende en ook met een dalende rij breuken. Daaruit (?) leren we ook dat er zo geen gaten meer op de getallenrechte voorkomen. De rationale samen met de irrationale getallen heten reële getallen. Elk punt op de getallenrechte is een reëel getal. Elk punt kan willekeurig dicht benaderd worden door rationale getallen. Dat kunnen we gemakkelijk begrijpen door naar de decimale voorstelling te kijken.

Neem een punt x tussen 0 en 1.

De decimale voorstelling van x is dus

x = 0,????....

De eerstvolgende nog onbekende decimaal kunnen we bepalen door na te gaan in welk van de intervallen

[0 ; 0,1), [0,1 ; 0,2) ... [0,9 ; 1)

het getal x ligt. Stel x in [0,3 ; 0,4), dan is 3 de volgende decimaal bekend,

x = 0,3??????

Nu delen we het interval [0,3 ; 0,4) in 10 delen op:

[0,30 ; 0,31), [0,31 ; 0,32), ..., [0,39 ; 0,4)

Stel x in [0,35 ; 0,36), dan is de volgende decimaal een 5

x = 0,35????

Zo gaan we door. De intervallen omvatten steeds alle volgende en worden steeds kleiner. Uiteindelijk sluiten ze het getal x in. De ondergrenzen van de intervallen vormen een stijgende rij en de bovengrenzen een dalende rij rationale getallen die elkaar willekeurig dicht naderen. Uiteindelijk naderen beide rijen naar het getal x.