Sjabloon:Rekenen in de techniek/Machten van 10 delen

Sjabloondocumentatie

Gebruik

Dit sjabloon wordt in meerdere boeken gebruikt, controleer "Links naar deze pagina" om te kijken in welke boeken.

Invoertekst

{{Rekenen in de techniek/Machten van 10 delen
| TheorieRekenenDelen = 
| TheorieExponent0en1 = }}

Parameters

Om het sjabloon in verschillende boeken te gebruiken, maar de verwijzingen naar het dan geldende boek te ztten zijn onderstaande parameters aanwezig.

TheorieRekenenDelen

Deze parameter verwijst naar de pagina waarop het delen met exponenten algemeen wordt besproken.

TheorieExponent0en1

Deze parameter verwijst naar de pagina waar het effect van de exponentne 1 en 0 wordt besproken.

Voorbeeld

{{Rekenen in de techniek/Machten van 10 delen
| TheorieRekenenDelen = 
| TheorieExponent0en1 = Wiskunde voor MBO techniek/Exponent 1 en 0}}

Bovenstaande sjablooncall geeft onderstaand resultaat.

Delen met exponenten

Delen met exponenten verloopt iets anders dan de vermenigvuldiging. Nemen we als voorbeeld: 10000 / 100.

Delen

De eerste stap is beide getallen als macht van 10 schrijven:

${\frac {10000}{100}}\ =\ {\frac {10^{4}}{10^{2}}}$

Verg. 10

Schrijf je nu zowel teller als noemer uit dan krijg je:

${\frac {10^{4}}{10^{2}}}\ =\ {\frac {10\ \times \ 10\ \times \ 10\ \times \ 10}{10\ \times \ 10}}$

Verg. 11

Vervolgens kunnen gelijke factoren boven en onder de deelstreep teken elkaar weggedeeld worden:

${\frac {10\ \times \ 10\ \times \ 10\ \times \ 10}{10\ \times \ 10}}=\ {\frac {{\not {1}}{\not {0}}\ \times \ {\not {1}}{\not {0}}\ \times \ 10\ \times \ 10}{{\not {1}}{\not {0}}\ \times \ {\not {1}}{\not {0}}}}$

Verg. 12

Uitwerken geeft nu:

${\frac {{\not {1}}{\not {0}}\ \times \ {\not {1}}{\not {0}}\ \times \ 10\ \times \ 10}{{\not {1}}{\not {0}}\ \times \ {\not {1}}{\not {0}}}}\ =\ {\frac {1\ \times \ 1\ \times \ 10\ \times \ 10}{1\ \times \ 1}}$

Verg. 13

of:

${\frac {10\ \times \ 10}{1}}\ =\ 10\ \times \ 10\ =10^{2}\ =\ 100$

Verg. 14

Door het tegen elkaar wegdelen van de factoren in vergelijking 13 maak je voor elke factor in de noemer van de breuk het aantal factoren in de teller één lager: je trekt het aantal factoren in de noemer af van het aantal factoren in de teller. Je kunt bovenstaande serie vergelijkingen dus ook schrijven als:

${\frac {10^{4}}{10^{2}}}=10^{4-2}=10^{2}$

Verg. 15

Concluse

Bij delen mag je, als de grondtallen gelijk zijn, de exponenten van elkaar aftrekken.

Regel

Gevolgen van de regel

Bij "gewone gevallen" is de regel duidelijk. Maar er zijn ook een paar, op het eerste gezicht, gekke gevolgen. Hieronder staat het effect beschreven als de exponent van de noemer groter is dan die van de teller. Hier staan twee andere effecten beschreven.

Gevolgen

De exponent van de noemer is groter dan die van de teller

De in een vorige paragraaf gevonden regel: Bij delen moet je de exponenten van elkaar aftrekken heeft een gekke consequentie. Kijk maar in het voorbeeld van 100 / 10000. De eerste stap is het omzetten van gewone getallen naar machten van 10:

${\frac {100}{10000}}\ =\ {\frac {10\ \times \ 10}{10\ \times \ 10\ \times \ 10\ \times \ 10}}\ =\ {\frac {10^{2}}{10^{4}}}$

verg. 16

noemer groter dan teller

toepassen van de regel over het aftrekken van de exponenten geeft nu:

${\frac {10^{2}}{10^{4}}}\ =\ 10^{2-4}=10^{-2}$

verg. 17

negatieve exponent

Wat je je moet voorstellen bij het vermenigvuldigen van het getal 10 dat je min twee keer met zichzelf vermenigvuldigd kan niemand vertellen. Het is alleen wel het gevolg van de toepassing van de regel bij delen met exponenten.

Daarnaast is er echter ook de gewone uitkomst van de breuk. Je rekenmachine geeft heel netjes aan dat de uitkomst moet zijn:

${\frac {10^{2}}{10^{4}}}\ =\ 10^{-2}\ =\ {\frac {1}{100}}\ =\ {\frac {1}{10^{2}}}\ =\ 0{,}01$

verg. 18

Blijkbaar leidt de regel tot de conclusie dat $10^{-2}$ ook gelezen kan worden als ${\frac {1}{10^{2}}}$. Meer algemeen ziet deze regel er dan als volgt uit:

$10^{-n}\ =\ {\frac {1}{10^{n}}}$

verg. 19

Regel