Klassieke Mechanica/Botsingen: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
verdere uitwerking |
|||
Regel 11:
Wanneer twee massa's centraal met elkaar botsen, dan kan men twee fases onderscheiden. Wanneer de twee massa's elkaar raken zullen ze elkaar indrukken totdat er geen relatieve snelheid meer is tussen beide, d.i. totdat ze beide dezelfde snelheid hebben. Gedurende die tijd ondervinden beide een gelijke en tegengestelde stoot N<sub>s</sub>. Dit is de '''samendrukkingsfase'''. De meeste voorwerpen hebben een zekere elasticiteit, zodat ze de deuk proberen te herstellen. Hierbij worden de massa's weer uit elkaar geduwd. Dit is de '''ontspanningsfase'''. Ook tijdens deze fase ondervinden beide massa's een even grootte maar tegengestelde stoot N<sub>o</sub>.
[[afbeelding:botsingElast.png|right|Elastische botsing]]
Indien de deuk volledig hersteld wordt, dan heeft men een '''volkomen elastische botsing'''. De kinetische energie, die tijdens de samendrukkingsfase naar elastische potentiële energie omgezet werd, zal zich terug omzetten naar kinetische energie. Dan gaat er geen energie verloren tijdens de botsing en zal de stoot tijden de samendrukking even groot zijn als de stoot tijden de ontspanning. De twee voorwerpen gaan dan terug uiteen met dezelfde relatieve snelheid als die waarmede ze elkaar naderden. De absolute snelheden van beide hoeven echter niet dezelfde te zijn als voor de botsing. Denk maar aan de biljartbal die tegen een stilstaande bal botst zodat de de eerste bal nadien stil ligt en de tweede bal nu weg rolt. Dit geval wordt verder als eerste voorbeeld uitgewerkt.
Regel 26 ⟶ 27:
'''Voorbeeld'''<br />
Als eerste voorbeeld wordt het geval van de botsende biljartballen gekozen met de onderstelling dat het een volkomen elastische botsing is. Voor de botsing beweegt de eerste bal met een snelheid v<sub>1</sub> van links naar rechts en ligt de tweede bal stil. Men kan dan behoud van impuls opschrijven.
:<math> m\vec v_1 + 0 = m\vec u_1 + m\vec u_2 </math>
Men kan alles projecteren op de richting van v<sub>1</sub>:
Regel 32 ⟶ 33:
Dit kan duidelijk nog vereenvoudigd worden tot:
:<math>\displaystyle v_1 = u_1 + u_2 </math>
Er blijken 2 veranderlijken in deze vergelijking te zitten. Men heeft dus nog een bijkomende vergelijking nodig. Dit kan ofwel het behoud van (kinetische) energie zijn, of de restitutiecoëfficiënt.
[[afbeelding:Newtons_cradle_animation_book.gif|360x270px|right|Newtons wieg]]▼
Met de restitutiecoëfficiënt krijgt men:
:<math> 1 = - \frac{u_2 - u_1}{0 - v_1}</math>
of
Regel 45 ⟶ 48:
Dit kan duidelijk vereenvoudigd worden. Na oplossen van de eerste vergelijking naar bv. u<sub>1</sub> en substitutie in de tweede bekomt men hetzelfde resultaat.
▲[[afbeelding:Newtons_cradle_animation_book.gif|360x270px|right|Newtons wieg]]
Men kan een hierover een simulatie vinden bij de bekende fysica applets van de Walter Fendt, bv. op http://fys.kuleuven.be/pradem/applets/Fendt/ph14nl/collision_nl.htm . Tijdens de botsing wordt het massacentrum van het systeem als een punt in de balk onderaan getoond. Een ander applet, waarbij men met wat meer parameters kan spelen, is te vinden in de Wiley Simulation Library op http://www3.interscience.wiley.com:8100/legacy/college/halliday/0471320005/simulations6e/
Een ander voorbeeld van een (bijna) volkomen elastische botsing is bekend als de wieg van Newton (zie figuur
De basis voor de wetten van de elastische botsing werd gelegd door [[w:http://nl.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes| René Descartes]] en [[w:http://nl.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens| Christiaan Huygens]]. Deze laatste bedacht de truc om de botsing te beschrijven in een systeem verbonden aan het massacentrum.
[[afbeelding:botsingMC.png|right|botsint in systeem verbonden met massacentrum]] Als er geen uitwendige krachten werken op beide massa's, dan beschrijft het massacentrum een rechte baan met constante snelheid. In zo'n systeem mogen de wetten van Newton en de afgeleide wetten ook opgeschreven worden. Dan heeft men dat de totale impuls van beide massa's altijd 0 moet zijn (zie hiervoor [[Klassieke_Mechanica/Voorwerpendynamica#Het_massacentrum| Het massacentrum]]). Beide massa's moeten dus voor de botsing altijd naar elkaar toekomen en zullen na de botsing in het massacentrum blijven liggen of terug uit elkaar gaan. Voor het voorbeeld van de biljartbal die tegen een stilliggende bal aanbotst heeft men: :<math>v_c = \frac{\sum m_i v_i}{\sum m_i} = \frac{mv_1}{2m} = 0,5 v_1</math>
In een assenkruis dat met deze snelheid beweegt worden de snelheden van beide ballen:
Regel 60 ⟶ 64:
In het applet uit de Wiley Simulation Library kan men ook duidelijk zien dat, als een zware massa tegen een lichte aanbotst, de lichte massa met grote snelheid weggeslingerd wordt. Voert men in de vergelijking van het behoud van impuls uit vorig voorbeeld een massa m<sub>1</sub> en m<sub>2</sub> in en combineert men dit opnieuw met de vergelijking die volgt uit een restitutiecoëfficiênt = 1, dan krijgt men:
:<math> u_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1</math>
Indien m<sub>1</sub> = 10 x m<sub>2</sub>, dan wordt u<sub>2</sub> = (20/11)v<sub>1</sub> of bijna het dubbele van de beginsnelheid van m<sub>1</sub>.Dit is het fenomeen dat men ook gebruikt om satellieten, via een omleiding rond een planeet of ander hemellichaam, een extra snelheid te geven. De doortocht door het zwaartekrachtveld van het hemellichaam kan men immers ook zien als een elastische botsing, maar geen centrale botsing.
| |||