Klassieke Mechanica/Botsingen

Botsingen

Inleiding

Men onderstelt dat twee voorwerpen op zulke manier met elkaar botsen dat er alleen met de krachten tussen deze twee voorwerpen rekening moet worden gehouden. Er werd bij de bespreking van de impuls reeds aangetoond hoe een zeer kleine botsingstijd kan leiden tot het verwaarlozen van niet botsingskrachten zoals bv. de zwaartekracht. Het kan ook om een beweging in een horizontaal vlak gaan: puck op een luchttafel of een biljartbal op een biljarttafel. In eerste instantie zal gesproken worden over botsende puntmassa's of volkomen gladde voorwerpen, zodat er tijdens de botsing alleen normaalkrachten, krachten loodrecht op het botsingsvlak, optreden en geen tangentiële krachten. Deze laatste zouden bij een reëel voorwerp een rotatie kunnen doen ontstaan of afremmen. Dat geval zal later behandeld worden.

Tijdens de botsing van voorwerpen hebben beide een gemeenschappelijk raakvlak, het botsingsvlak. De loodlijn op dit vlak noemt men de botsingslijn. Als de massacentra van beide voorwerpen op de botsingslijn liggen, spreekt men van centrale botsing, anders van excentrische botsing. Als de snelheden van de contactpunten loodrecht staan op het botsingsvlak heeft men een rechte botsing anders een schuine botsing. Wanneer puntmassa's botsen gaat het altijd over een centrale botsing.

Rechte centrale botsing

De restitutiecoëfficiënt

Wanneer twee massa's centraal met elkaar botsen, dan kan men twee fases onderscheiden. Wanneer de twee massa's elkaar raken zullen ze elkaar indrukken totdat er geen relatieve snelheid meer is tussen beide, d.i. totdat ze beide dezelfde snelheid hebben. Gedurende die tijd ondervinden beide een gelijke en tegengestelde stoot N_s. Dit is de samendrukkingsfase. De meeste voorwerpen hebben een zekere elasticiteit, zodat ze de deuk proberen te herstellen. Hierbij worden de massa's weer uit elkaar geduwd. Dit is de ontspanningsfase. Ook tijdens deze fase ondervinden beide massa's een even grootte maar tegengestelde stoot N_o.

Elastische botsing

Indien de deuk volledig hersteld wordt, dan heeft men een volkomen elastische botsing. De kinetische energie, die tijdens de samendrukkingsfase naar elastische potentiële energie omgezet werd, zal zich terug omzetten naar kinetische energie. Dan gaat er geen energie verloren tijdens de botsing en zal de stoot tijdens de samendrukking even groot zijn als de stoot tijdens de ontspanning. De twee voorwerpen gaan dan terug uiteen met dezelfde relatieve snelheid als die waarmede ze elkaar naderden. De absolute snelheden van beide hoeven echter niet dezelfde te zijn als voor de botsing. Denk maar aan de biljartbal die tegen een stilstaande bal botst zodat de de eerste bal nadien stil ligt en de tweede bal nu weg rolt. Dit geval wordt verder als eerste voorbeeld uitgewerkt.

Als er geen enkel herstel is dan spreekt men van volkomen weke botsing of volkomen inelastische botsing. Dan blijven de beide voorwerpen aan elkaar kleven en bewegen samen verder met de gemeenschappelijke snelheid van het einde van de samendrukkingsfase. Er is geen omzetting van kinetische energie in potentiële, maar de kinetische energie die tijdens de samendrukkingsfase verdwijnt, wordt afgevoerd door inwendige wrijving binnen de twee voorwerpen.

De meeste botsingen liggen echter ergens tussenin. Om die te kunnen typeren voert men de restitutiecoëfficiënt k in. Er zijn hiervan twee definities mogelijk. De eerste definitie zegt dat dit de verhouding is van de grootte van de relatieve snelheid na de botsing over de grootte van de relatieve snelheid voor de botsing. De waarde van k kan dus variëren van 0 (volkomen weke botsing) tot 1 (volkomen elastische botsing).

$k={\frac {v_{rel,na}}{v_{rel,voor}}}$

waarbij de conventie gebruikt is dat v zonder vectorpijltje erboven staat voor de norm of grootte van de vector. Deze definitie wordt toegeschreven aan Newton.

In de meeste gevallen kan men deze relatieve snelheden vrij gemakkelijk opschrijven, zeker als het een botsing is met een stilstaand voorwerp. Als er verscheidene onbekenden in de formules voorkomen, moet men deze relatieve snelheden op een systematische manier berekenen. Men moet zowel voor als na ofwel de snelheid van voorwerp 1 aftrekken van de snelheid van voorwerp 2 of omgekeerd. Als er een relatieve snelheid is na de botsing, heeft die zeker de tegengestelde zin van die voor de botsing. Men moet dus nog een minteken voor de verhouding zetten. In volgende formules duiden alle snelheden op projecties op de gemeenschappelijke richting van de snelheden en kunnen dus zowel positief als negatief zijn. De snelheden voor worden aangeduid met het symbool v, de snelheden na met het symbool u:

$k=-{\frac {u_{2}-u_{1}}{v_{2}-v_{1}}}$

Voorbeeld
Als eerste voorbeeld wordt het geval van de botsende biljartballen gekozen met de onderstelling dat het een volkomen elastische botsing is. Voor de botsing beweegt de eerste bal met een snelheid v₁ van links naar rechts en ligt de tweede bal stil. Men kan dan behoud van impuls opschrijven.

$m{\vec {v}}_{1}+{\vec {0}}=m{\vec {u}}_{1}+m{\vec {u}}_{2}$

Men kan alles projecteren op de richting van v₁:

$\displaystyle mv_{1}+0=mu_{1}+mu_{2}$

Dit kan duidelijk nog vereenvoudigd worden tot:

$\displaystyle v_{1}=u_{1}+u_{2}$

Er blijken 2 veranderlijken in deze vergelijking te zitten. Men heeft dus nog een bijkomende vergelijking nodig. Dit kan ofwel het behoud van (kinetische) energie zijn, of de restitutiecoëfficiënt.

Newtons wieg

Met de restitutiecoëfficiënt krijgt men:

$1=-{\frac {u_{2}-u_{1}}{0-v_{1}}}$

of

$\displaystyle v_{1}=u_{2}-u_{1}$

Beide vergelijkingen samen leveren het eenvoudige stelseltje:

$\displaystyle v_{1}=u_{2}+u_{1}$

$\displaystyle v_{1}=u_{2}-u_{1}$

Door eens lid aan lid af te trekken en op te tellen, krijgt men de enige oplossing hiervan:

$\displaystyle u_{1}=0\ \mathrm {en} \ u_{2}=v_{1}$

Dit is dus het bekende omwisselen van de snelheden. Met behoud van energie wordt de tweede vergelijking:

${\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}={\frac {1}{2}}m(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})$

Dit kan duidelijk vereenvoudigd worden. Na oplossen van de eerste vergelijking naar bv. u₁ en substitutie in de tweede bekomt men hetzelfde resultaat.

Men kan een hierover een simulatie vinden bij de bekende fysica applets van de Walter Fendt, bv. op http://www.walter-fendt.de/html5/phnl/collision_nl.htm. Tijdens de botsing wordt het massacentrum van het systeem als een punt in de balk onderaan getoond. Een andere simulatie, waarbij men met wat meer parameters kan spelen, is te vinden op https://phet.colorado.edu/sims/collision-lab/collision-lab_nl.html van de Universiteit van Colorado te Boulder. (klik op "meer gegevens" onderaan. Het Engelse "momentum" is fout vertaald als "moment" i.p.v. "impuls").

Een ander voorbeeld van een (bijna) volkomen elastische botsing is bekend als de wieg van Newton (zie figuur). Men kan één of meer balletjes laten botsen en dan worden er aan het andere einde evenveel balletjes weggeslingerd. Het speeltje is hier afgebeeld op de titelpagina van zijn boek "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", kortweg de "Principia" van 1687.

De basis voor de wetten van de elastische botsing werd gelegd door René Descartes en Christiaan Huygens. Deze laatste bedacht de truc om de botsing te beschrijven in een systeem verbonden aan het massacentrum.

botsing in systeem verbonden met massacentrum

Als er geen uitwendige krachten werken op beide massa's, dan beschrijft het massacentrum een rechte baan met constante snelheid. In zo'n systeem mogen de wetten van Newton en de afgeleide wetten ook opgeschreven worden. Dan heeft men dat de totale impuls van beide massa's altijd 0 moet zijn (zie hiervoor Het massacentrum). Beide massa's moeten dus voor de botsing altijd naar elkaar toekomen en zullen na de botsing in het massacentrum blijven liggen of terug uit elkaar gaan. Voor het voorbeeld van de biljartbal die tegen een stilliggende bal aanbotst heeft men:

$v_{c}={\frac {\sum m_{i}v_{i}}{\sum m_{i}}}={\frac {mv_{1}}{2m}}=0,5v_{1}$

In een assenkruis dat met deze snelheid beweegt worden de snelheden van beide ballen:

$\displaystyle v_{1r}=v_{1}-v_{c}=0,5v_{1}$

$\displaystyle v_{2r}=0-v_{c}=-0,5v_{1}$  dit is een snelheid naar links.

In dat assenkruis komen beide ballen dus met even grote snelheden naar elkaar toe.

In de simulaties hierboven kan men ook duidelijk zien dat, als een zware massa tegen een lichte aanbotst, de lichte massa met grote snelheid weggeslingerd wordt. Voert men in de vergelijking van het behoud van impuls uit vorig voorbeeld een massa m₁ en m₂ in en combineert men dit opnieuw met de vergelijking die volgt uit een restitutiecoëfficiênt = 1, dan krijgt men:

$u_{2}={\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}v_{1}$

Indien m₁ = 10 x m₂, dan wordt u₂ = (20/11)v₁ of bijna het dubbele van de beginsnelheid van m₁.

Bij een botsende bal kan men de restitutiecoëffciënt afleiden uit de hoogten waarop hij terugkaatst. Wanneer men een bal laat vallen van een hoogte h₁, dan zal die de grond bereiken (met verwaarlozen van luchtweerstand over de kleine afstand die hier gebruikt wordt) met een snelheid:

$v_{1}={\sqrt {2gh_{1}}}$

stroboscopische foto van botsende tennisbal

Na de botsing vertrekt de bal omhoog met een snelheid:

$\textstyle v_{2}=k.v_{1}$

De bal zal dan opnieuw een hoogte h₂ bereiken:

$h_{2}={\frac {v_{2}^{2}}{2g}}={\frac {k^{2}v_{1}^{2}}{2g}}$

... en hetzelfde herhaalt zich bij elke botsing.

De verhouding van de opeenvolgende hoogten blijk het kwadraat van k:

${\frac {h_{2}}{h_{1}}}={\frac {k^{2}v_{1}^{2}/2g}{v_{1}^{2}/2g}}=k^{2}$

Dit betekent dat de hoogten zeer snel afnemen. Bij een k=0,9 is k² immers maar 0,81 meer.

Tweede definitie

Nota: deze tweede definitie is niet essentieel en kan gerust overgeslagen worden.
De tweede definitie voor de restitutiecoëffciënt zegt dat het de verhouding is tussen de grootte van de stoot tijden de ontspanningsfase, N_o, over de grootte van de stoot tijdens de samendrukkingsfase, N_s, voor één der betrokken massa's.

Duidt men de snelheden voor en na de botsing aan zoals hoger en de gemeenschappelijke snelheid als v, dan geldt:

${\vec {N}}_{s}=m_{1}({\vec {v}}-{\vec {v_{1}}})=-m_{2}({\vec {v}}-{\vec {v_{2}}})$

Duidt men de snelheden na de botsing aan als u₁ en u₂ dan geldt:

${\vec {N}}_{o}=m_{1}({\vec {u_{1}}}-{\vec {v}})=-m_{2}({\vec {u_{2}}}-{\vec {v}})$

Bij een centrale botsing liggen alle snelheden volgens de verbinding tussen de twee massacentra. Men kan dus alle vectoren projecteren op een as volgens die lijn, waarbij elke projectie nog positief of negatief kan uitvallen. Men krijgt dan:

$k={\frac {N_{o}}{N_{s}}}={\frac {u_{1}-v}{v-v_{1}}}={\frac {u_{2}-v}{v-v_{2}}}$

Uit deze vergelijking kan v geëlimineerd worden:

$k={\frac {\scriptstyle {teller1-teller2}}{\scriptstyle {noemer1-noemer2}}}={\frac {u_{1}-u_{2}}{-v_{1}+v_{2}}}=-{\frac {u_{2}-u_{1}}{v_{2}-v_{1}}}$

...zoals ook hoger gevonden.

De gemeenschappelijke snelheid v tussen de twee fases volgt uit behoud van impuls als:

$v={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

Hiermede kan nu ook de grootte van het verlies aan kinetische energie tijdens de samendrukkingsfase berekend worden:

$\Delta E_{ks}=\left({\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}\right)-{\frac {(m_{1}+m_{2})v^{2}}{2}}$

Na substitutie van de formule voor v en enig rekenwerk blijkt dit te herleiden tot:

$\Delta E_{ks}={\frac {m_{1}m_{2}}{2(m_{1}+m_{2})}}(v_{1}-v_{2})^{2}$

Op analoge manier leidt de berekening van de winst aan kinetische energie tijdens de ontspanningsfase tot:

$\Delta E_{ko}={\frac {m_{1}m_{2}}{2(m_{1}+m_{2})}}(u_{1}-u_{2})^{2}$

De verhouding hiervan leidt tot een verrassend resultaat:

${\frac {\Delta E_{ko}}{\Delta E_{ks}}}={\frac {(u_{1}-u_{2})^{2}}{(v_{1}-v_{2})^{2}}}=k^{2}$

Men kan dit ook controleren in de simulatie van de universiteit van Colorado (zie link hoger).

Schuine botsing

Wanneer de snelheden van de botsende massa's niet volgens de verbindingslijn van de massacentra liggen, heeft men een schuine botsing. Of anders geformuleerd: bij een centrale botsing ligt het botsingsvlak loodrecht op de snelheden, bij een schuine botsing niet. Men blijft hier voorlopig binnen de onderstelling dat er tijdens de botsing geen krachten in het botsingsvlak optreden maar alleen krachten loodrecht op het botsingsvlak.

Een biljartspeler gebruikt veel meer schuine botsingen dan echte centrale botsingen. Wat volgt is hierop vrij goed toepasselijk voor zover het gaat over iemand die zonder speciaal "effect" speelt. Bij effectballen worden ballen gebruikt die niet zuiver rollen, maar ook nog op een andere manier roteren. voor experimentele controle van de schuine botsing kan men best pucks op een luchtkussentafel gebruiken.

schuine botsing

Bij een schuine botsing geldt wat gezegd werd over de restitutiecoëfficiënt voor de componenten van de snelheid loodrecht op het botsingsvlak. In het licht van de tweede definitie van de restitutiecoëfficiënt, die steunt op de verhouding van de stoten voor en na de botsing, lijkt dit gerechtvaardigd. Men zal dus de snelheden moeten splitsen volgens componenten evenwijdig aan het botsingsvlak en componenten loodrecht op het botsingsvlak.

Als voorbeeld wordt de situatie uit de figuur genomen, met een hoek van 30° tussen de richting van de snelheid en de richting van de component loodrecht op het botsingsvlak, Men voert een rechthoekig assenkruis in, zodat de x-as loodrecht staat op het botsingsvlak en de y-as eraan parallel is. Men krijgt dan als vergelijkingen:
- behoud van impuls:

$m_{1}{\vec {v}}_{1}+{\vec {0}}=m_{1}{\vec {u}}_{1}+m_{2}{\vec {u}}_{2}$

In projecties:

$\displaystyle m_{1}v_{1x}+0=m_{1}u_{1x}+m_{2}u_{2x}$ . . . onbekenden u_1x en u_2x

$\displaystyle m_{1}v_{1y}+0=m_{1}u_{1y}+m_{2}u_{2y}$ . . . onbekenden u_1y en u_2y

- Voor de restitutiecoëfficiënt:

$k=-{\frac {u_{2x}-u_{1x}}{0-v_{1x}}}$ . . . onbekenden u_1x en u_2x

Men ziet dat de vergelijking voor de restitutiecoëfficiënt en de projecties op de x-as een stelsel vormen van 2 vergelijkingen in 2 onbekenden. Dat is afzonderlijk oplosbaar. Er blijft op het eerste gezicht een probleem voor de projecties op de y-as. Daar er echter gewerkt wordt in de onderstelling dat er geen stoten zijn in het botsingsvlak, kunnen de y-componenten niet gewijzigd worden. Dus u_1y = v_1y en voor dit geval blijft u_2y = 0.

Wanneer er behoud van energie geldt (of k = 1) dan moeten beide ballen, als de massa's gelijk zijn, onder een rechte hoek uit elkaar gaan. Uit het behoud van de kinetische energie volgt immers dat

$\textstyle v_{1}^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}$

Dit beantwoordt aan de stelling van Pythagoras en eist dus een rechte hoek tussen u₁ en u₂. Wanneer k<1 dan wordt de relatieve snelheid volgens de x-as na de botsing kleiner dan in vorig geval. De eerste bal blijft dichter bij zijn oorspronkelijke richting. De tweede bal blijft onder dezelfde hoek vertrekken omdat hij onder dezelfde hoek aangestoten wordt, maar hij vertrekt met een kleinere snelheid. Men kan dit gesimuleerd zien in een app van B. Surendranath Reddy op http://surendranath.tripod.com/GPA/Dynamics/Collisions/Collisions.html . "vrf" betekent v finaal van de rode bal. Deze man heeft ook apps voor Android en filmpjes op Youtube. Schuine botsingen worden ook gesimuleerd op de website van de universiteit van Colorado (https://phet.colorado.edu/sims/collision-lab/collision-lab_nl.html) onder de tab "Advanced".

Botsingen tussen voorwerpen

Bij botsingen tussen voorwerpen zal men ook rekening houden met het rotatie-effect van de stoten. In het algemeen moet men de impulswet toepassen op elk voorwerp:

$\sum _{i}{\vec {N_{i}}}\,=\,m({\vec {v}}_{na}-{\vec {v}}_{voor})$

Men zal ook de impulsmomentstelling t.o.v. het massacentrum of een stilstaand punt moeten toepassen. Daar men mag onderstellen dat tijdens de botsing het contactpunt van de stoten zich niet verplaatst, kan men deze schrijven als:

$\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {N}}_{i}=I(\omega _{na}-\omega _{voor})$

In vele gevallen kan men echter ook behoud van impulsmoment toepassen, waardoor de berekening sterk vereenvoudigd worden. Verder zal de restitutiecoëfficiënt weer toegepast worden voor de snelheden loodrecht op het botsingsvlak. Deze toepassing wordt toegeschreven aan John Wallis (1616 -1703)(Zie ook het artikel in de [Engelse Wikipedia])

Voorbeeld 1
Een kleine kogel met massa m₁ botst tegen het einde B van een staaf. De staaf heeft massa m₂ en lengt l, en is scharnierend opgehangen in haar andere eindpunt A. De restitutiecoëfficiënt is 0,5 . Bereken de snelheid van de kogel en de hoeksnelheid van de staaf na de botsing.

botsing van kogel en staaf

Als men de impulsstelling wil opschrijven voor de staaf, moet men er rekening mee houden dat er tijdens de botsing ook een stoot zal optreden in het ophangpunt A. Men kan echter alle stoten uit de berekening houden door behoud van impulsmoment t.o.v. A toe te passen. Hoeksnelheden en momenten worden positief gerekend in tegenwijzerzin. De snelheid van de kogel na de botsing wordt genoteerd als -v_f in de onderstelling dat die naar links gericht is:

$\displaystyle lm_{1}v_{1}=I_{c}\,\omega -lm_{1}v_{f}$

Voor de restitutiecoëfficiënt:

$0,5={\frac {l\omega +v_{f}}{v_{1}}}$

Dit levert 2 vergelijkingen in de 2 onbekenden ω en v_f.

Indien men geen gebruik maakt van behoud van impulsmoment moet men opschrijven:
- voor de kogel: impulsstelling

$\displaystyle -N_{B}=m_{1}(-v_{f}-v_{1})$

- voor de staaf: impulsstelling:

$\displaystyle N_{A}+N_{B}=m_{2}(v_{c}-0)$

...impulsmoment, bv. t.o.v. A:

$\displaystyle lN_{B}=I_{A}\omega$

... rotatie rond A:

$\displaystyle v_{c}=l\omega /2$

- en dan nog de vergelijking voor de restitutiecoëfficiënt zoals hoger.
Dit levert 5 vergelijkingen in 5 onbekenden. Op die manier heeft men dus heel wat meer vergelijkingen en onbekenden!

Voorbeeld 2
Een holle buis met massa m en straal r rolt met snelheid v₁ tegen een schuine helling. Bereken de snelheid van cilinder langs deze helling in de onderstelling dat er voldoende wrijving is om ervoor te zorgen dat het contactpunt met de helling stilstaat tijdens de botsing (m.a.w. dat er ogenblikkelijk overgegaan wordt naar zuiver rollen langs de helling).

cilinder botsend tegen helling

Problemen met wrijvingskrachten tijdens de botsing kan men vereenvoudigen indien men ofwel mag onderstellen dat de wrijving zo groot is dat beide voorwerpen niet over elkaar schuiven in het contactpunt, ofwel zo klein dat men mag onderstellen dat het ene voorwerp wel de hele tijd schuift over het andere. In dit laatste geval moet de wrijvingscoëfficiënt voortdurend maximaal zijn zodat men dan kan stellen dat de tangentiële component van de stoot, N_t, gelijk is aan f_max maal de normale component, N_n. Of N_t = f_max.N_n

Als men onderstelt dat het contactpunt met de helling stil staat, dan kan men opnieuw behoud van impulsmoment t.o.v. dat punt toepassen. Voor de berekening van het impulsmoment moet men hier beroep doen op de eerste formule van König:

$\displaystyle L=M_{p}mv_{mc}+I\omega$

De loodrechte afstand van het contactpunt naar de drager van v₁ is hier d = r.cos 40°. Hiermede wordt het behoud van impuls (met 40° = θ):

$\textstyle r\cos \theta mv_{1}+I\omega _{1}=rmv_{2}+I\omega _{2}$

Het traagheidsmoment van een holle buis met massa m en straal r is mr². Verder geldt dat bij rollen v_mc = rω. Hiermede kan de vergelijking herwerkt worden tot de zeer eenvoudige uitdrukking:

$\displaystyle v_{1}(1+\cos \theta )=2\,v_{2}$

$v_{2}={\frac {1+\cos \theta }{2}}=0,883v_{1}$

Hieruit volgt dus de gevraagde eindsnelheid. Het blijkt dus dat de eis om bij de botsing dadelijk over te gaan op zuiver rollen een welbepaalde restitutiecoëffciënt onderstelt, in feite een k=0 of een volkomen inelastische botsing. Het contactpunt valt immers stil in de gemaakte onderstelling. Men kan gemakkelijk controleren dat er energie verloren gegaan is. Het blijkt dat voor een rollende holle buis de totale kinetische energie kan geschreven worden als:

$E_{k}={\frac {mv_{mc}^{2}}{2}}+{\frac {I\omega ^{2}}{2}}={\frac {mv_{mc}^{2}}{2}}+{\frac {mr^{2}\omega ^{2}}{2}}=mv^{2}$

Het procentueel verlies in kinetische energie wordt dan:

$100{\frac {\Delta E_{k}}{E_{k,voor}}}=100{\frac {m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})}{mv_{1}^{2}}}=100(0,883^{2}-1)=-22,0\%$

Voorbeeld 3
Als derde voorbeeld wordt een effectbal (in basket bv.) beschouwd. Een bal wordt tegen de grond gegooid zoals gegeven op de figuur. Gevraagd wordt de hoek van de terugkaatsende bal, zijn snelheid en hoeksnelheid als de restitutiecoëffciënt bekend is.

botsende bal met effect

Er wordt opnieuw ondersteld dat de wrijving zo groot is dat het contactpunt met de grond op een bepaald ogenblik niet beweegt t.o.v. de grond. Men kan dus opnieuw behoud van impulsmoment t.o.v. dit contactpunt toepassen (wijzerzin wordt als positief genomen):

$\textstyle rcos\theta _{1}.mv_{1}+I\omega _{1}=rcos\theta _{2}.mv_{2}+I\omega _{2}$

Indien het contactpunt stilstaat, betekent dit dat de bal op dat ogenblik rolt zonder slippen:

$\textstyle v_{2}\cos \theta _{2}=r\omega _{2}$

Er zijn echter 3 onbekenden. Bij vorig probleem lag de richting van de eindsnelheid vast, hier niet. Er blijft hier dus nog plaats voor een vergelijking waarbij de verticale snelheden van het contactpunt betrokken zijn. Daar het een botsing tegen een stilstaand horizontaal vlak is, is de restitutiecoëffciënt gewoon de verhouding van de verticale snelheden van het contactpunt. Bemerk dat de rotatie geen invloed heeft op die verticale snelheid van het contactpunt.

$\textstyle v_{2}\sin \theta _{2}=k.v_{1}\sin \theta _{1}$

Hiermede heeft men stelsel van 3 vergelijkingen in 3 onbekenden. Men kan er een lineair stelsel van maken door met de x- en y-componenten van de snelheden te werken i.p.v. met grootte en hoek. Men krijgt dan:

$\textstyle rmv_{1x}+I\omega _{1}=rmv_{2x}+I\omega _{2}$

$\textstyle v_{2x}=r\omega _{2}$

$\textstyle v_{2y}=k.v_{1y}$

Uit de laatste vergelijking volgt v_2y. Stelt men I = 2mr²/3 (traagheidsmoment van een holle bol) dan bekomt men voor v_2x:

$\textstyle v_{2x}=v_{1x}+{\frac {2}{3}}r\omega _{1}$

Hieruit blijkt dus duidelijk het effect van de rotatie of spin die aan de bal meegegeven werd.

Als men het hoger gegeven voorbeeld van schuine botsing zou willen oplossen met wrijving tussen de beide schijven of ballen, dan moet men de normale en tangentiële stoten op beide schijven invoeren (2 onbekenden). Verder heeft men als onbekenden de beide snelheden van de massacentra na de botsing (4 onbekenden) en de beide hoeksnelheden (2 onbekenden). In het totaal dus 8 onbekenden. Als vergelijkingen kan men opschrijven: de impulsstelling voor elk van de schijven (4 vergelijkingen), de impulsmomentstelling voor elke schijf (2 vergelijkingen) en de vergelijking van de restitutiecoëfficiënt. Als laatste vergelijking moet men nog iets opschrijven i.v.m. de wrijving. Ofwel onderstelt men dat de schijven altijd over elkaar geschoven hebben en krijgt men als laatste vergelijking N_t = f_maxN_n. Ofwel komen beide omtrekken in rust t.o.v. elkaar en kan men tangentiële snelheid van de contactpunten gelijk stellen. Als dat niet opgaat moet men een gedetailleerde numerieke simulatie gebruiken.

Het slagcentrum

Als men met een hamer op iets klopt, is er dan een plaats van de steel waar men die kan vasthouden om een minimum of zelfs niets van de slag te voelen? Enkele eeuwen geleden formuleerde men de vraag ook als volgt: kan men een zwaard ontwerpen zodat men in het handvat zo weinig mogelijk voelt van de impact bij het toedienen van een houw? Het antwoord op deze vragen is dat zoiets bestaat. het heet het slagcentrum of in Vlaanderen meestal percussiecentrum (onder invloed van het franse "centre de percussion" en het engelse "centre of percussion"). Een ander domein waar de vraag gesteld wordt is bij weerstandstesten, waarbij een zware slinger tegen het testmateriaal slaat. Ook dan verlangt men dat er geen reactie zou zijn in het ophangpunt van de slinger. Als voorbeeld zal hier de ballistische slinger gebruikt worden. Dit is een apparaat waarmede de snelheid van afgevuurde kogels bepaald wordt. Een ballistische slinger bestaat uit een houten blok onderaan een slinger. Men schiet de kogel in het blok en uit de uitwijking van de slinger kan dan de snelheid van de kogel berekend worden.

Er zijn (minstens) drie manieren in omloop om de positie van het slagcentrum wiskundig te bepalen. Een eerste definitie speelt zich af op het niveau van krachten en versnellingen. Wanneer men een kracht op een vrij voorwerp uitoefent zodat de werklijn naast het massacentrum passeert, dan zal het resultaat een versnelling van het massacentrum (a_c) zijn en een hoekversnelling rond het massacentrum. Voor punten aan de andere zijde van het massacentrum zal de rotatie een relatieve versnelling creëren die tegengesteld is aan a_c. Het slagcentrum is dan het punt waar de kracht moet uitgeoefend worden, opdat de totale versnelling van het ophangpunt 0 zou zijn.

Men kan de situatie ook bekijken op het niveau van de stoot en de snelheid en hoeksnelheid. Het slagcentrum is dan het punt waar de stoot moet aangrijpen opdat de totale snelheid van het ophangpunt 0 zou zijn.

Tenslotte is er ook een meer wiskundige variant op de eerste formulering. Hierin stelt men dat een kracht die uitgeoefend wordt op een voorwerp, een systeem doet ontstaan met de dimensies van een kracht en een moment, nl. (ma_c, Iα). Het slagcentrum is dan het punt waar dit systeem kan herleidt worden tot een zuivere kracht ma_c, rekening houdend met een verband tussen a_c en α ontstaan door het bevestigingspunt. Zie het hoofdstuk over equivalente vectorsystemen voor de theorie hierachter.

ballistische slinger

Het massacentrum van de slinger ligt in C. Wanneer men de situatie bekijkt op het niveau van kracht en versnelling krijgt men:

$\textstyle F=ma_{c}$

$\textstyle sF=I_{c}\alpha$

De eis aan het ophangpunt A wordt dan:

$\textstyle a_{A}=a_{c}-r\alpha =0$

Lost men de eerste 2 vergelijkingen op resp. naar a_c en α en vult men dat in in de derde vergelijking, dan kan s bepaald worden als functie van r, I_c en de totale massa m, maar onafhankelijk van F:

$s={\frac {I_{c}}{mr}}$

Bekijkt men alles op niveau van de stoten en de snelheden dan krijgt men als vergelijkingen:

$\textstyle N=mv_{c}$

$\textstyle sN=I_{c}\omega$

De eis aan het ophangpunt A wordt dan:

$\textstyle v_{A}=v_{c}-r\omega =0$

Wat met dezelfde aanpak tot hetzelfde resultaat leidt.

De derde methode eist dat

$\textstyle sma_{c}=I\alpha$

onder de bijkomende voorwaarde dat

$\textstyle r\alpha =a_{c}$

Dit leidt duidelijk tot hetzelfde resultaat.

In de bovenstaande berekening werd gewerkt met het traagheidsmoment t.o.v. het massacentrum en alle afstanden werden uitgedrukt t.o.v. het massacentrum. Men kan echter ook werken met het traagheidsmoment t.o.v. het ophangpunt A en de afstand vanaf dat ophangpunt. Volgens de formule van Steiner geldt:

$\textstyle I_{A}=I_{c}+mr^{2}$

Wanneer het moment van F berekend wordt t.o.v. A wordt de tweede vergelijking:

$\textstyle dF=I_{A}\alpha$

Dit leidt tot de formule:

$d={\frac {I_{A}}{mr}}$

Men moet dus wel opletten dat men beide mogelijkheden niet door elkaar mengt.

Om met een ballistische slinger de snelheid van een kogel te bepalen zal men steunen op het behoud van impulsmoment t.o.v. A en het behoud van energie na de botsing, d.i. de omzetting van de kinetische energie van kogel en slinger na de botsing in potentiële energie van beide. Het behoud van impulsmoment levert (met index k voor de kogel):

$\textstyle dm_{k}v_{k}=(I_{a}+m_{k}d^{2})\omega$

Als de slinger uitwijkt over een hoek θ krijgt men als behoud van energie:

$\textstyle (I_{a}+m_{k}d^{2})\omega ^{2}/2=(m_{s}r+m_{k}d)g(1-\cos \theta )$