Klassieke Mechanica/Basisbegrippen

Dimensies en eenheden

In de natuurkunde, waarvan de mechanica een onderdeel is, hoort bij elk maatgetal ook een eenheid. Het gaat over 1 m, 1 kg, 1 u, enz. Men zegt dat men in de natuurkunde werkt met fysische grootheden, die gekenmerkt worden door een maatgetal en een eenheid.

Eenhedenstelstels

De oppervlakte van een rechthoek is het product van lengte x breedte. Als beide uitgedrukt worden in meter, zal de oppervlakte uitgedrukt worden in "vierkante meter", symbool m². In Engelssprekende gebieden wordt een lengte meestal uitgedrukt in voet en een oppervlakte wordt dan uitgedrukt in vierkante voet ("square feet"). De eenheid van oppervlakte is dus afhankelijk van de eenheid van lengte. Men noemt die eenheid van oppervlakte daarom een afgeleide eenheid. De eenheid van lengte blijkt van niets afhankelijk te zijn, blijkt men vrij te kunnen kiezen. Men noemt die daarom een "basiseenheid". De vraag is nu hoeveel basiseenheden en welke er nodig zijn om alle fysische grootheden te kunnen beschrijven. Het is daarbij belangrijk dat men zo weinig mogelijk basiseenheden gebruikt (om zeker te zijn dat ze onafhankelijk zijn van elkaar) en dat die basiseenheden nauwkeurig kunnen omschreven worden, reproduceerbaar zijn en praktisch in het gebruik.

Een systeem van eenheden dat afgeleid is van enkele basiseenheden noemt men een eenhedenstelsel. De eenheden die in dat schema passen noemt men coherente eenheden.In de praktijk worden op vele gebieden niet-coherente eenheden gebruikt. Zo is de radiaal de coherente eenheid voor een hoek maar wordt meestal de zestigdelige graad gebruikt. Ook de paardekracht (pk) is een niet-coherente eenheid.

Het blijkt dat men als basiseenheden een eenheid van lengte, van tijd en van massa nodig heeft. Voor de elektrische fenomenen moet hier nog een eenheid van stroomsterkte aan toegevoegd worden. Eenhedenstelstels worden meestal genoemd naar de basiseenheden. Een der meest gebruikte stelsels is het internationale stelsel of SI-stelsel ( "SI" = "Système international") met als basiseenheden de meter, de kilogram en de seconde. Daarom wordt het ook wel het MKS-stelsel genoemd. Uitgebreid met de definitie voor de ampère wordt het dan het MKSA-stelsel. Bij elke eenheid hoort een symbool. In het Nederlands blijven eenheden steeds in het enkelvoud en wordt er geen punt gezet achter het symbool.

• lengte: eenheid: meter; symbool: m. De standaard voor de meter was lange tijd de lengte van een platina-iridium staaf die in Parijs bewaard werd. Thans is de meter bepaald als 1.650.763,74 maal de golflengte van het licht uitgestraald door ⁸⁶Kr bij de overgang van het 5d₅ niveau naar het 2p₁₀ niveau.
• massa: eenheid: kilogram; symbool: kg. De standaardeenheid was de massa van een platina-irridium blok dat in Parijs bewaard wordt.
• tijd: eenheid: seconde; symbool: s.

Sinds 20 mei 2019 gelden nieuwe definities voor de basiseenheden. Deze steunen op constanten uit de natuurkunde en niet meer op menselijk creaties. Zie hiervoor SI-stelsel in de Nederlandse Wikipedia.

De afgeleide eenheid voor het resultaat van een berekening vindt men door elke factor in de berekening te vervangen door zijn eenheid.

Dimensies

De manier waarop een eenheid afhangt van de basiseenheden, noemt men de dimensie van die eenheid. Voor de dimensieformules wordt een lengte voorgesteld door L, de massa door M en de tijd door T. Als men een snelheid uitdrukt in m/s, dan is de dimensie van die snelheid [L/T] = [LT^-1]. Dimensieformules worden normaal tussen rechte haken gegeven.

In de fysica kan men alleen grootheden van dezelfde dimensie bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken. In tegenstelling tot de wiskunde moet men dan ook verschillende verzamelingen getallen onderscheiden naargelang de bijhorende dimensie. Door grootheden met elkaar te vermenigvuldigen of te delen ontstaan nieuwe grootheden met andere dimensies. Bij differentiëren wordt de dimensie bepaald door het feit dan een afgeleide de limiet is van een deling, bv. de ogenblikkelijke snelheid als limiet van verschil in afstand over verschil in tijd voor Δt → 0. De dimensie van snelheid is daarom [LT^-1] Analoog kan een integraal beschouwd worden als de verfijning van een product van twee grootheden als die van punt tot punt kunnen veranderen. De dimensie van het resultaat wordt dan het product van de dimensies van die grootheden.

Er bestaan ook dimensieloze grootheden en eenheden. Men kan de grootte van een hoek bepalen op een manier die onafhankelijk is van de gebruikte lengte-eenheid door die te definiëren als de verhouding van de lengte van de overspannen boog over de straal (= de radiaal, symbool "rad"). De dimensie is dus L/L . Dit resultaat noemt men dimensieloos. Eenheden voor dimensieloze grootheden verschijnen alleen als ze alleen voorkomen en verdwijnen als die grootheden met een andere grootheid vermenigvuldigd worden. Als een punt op een cirkel met straal r beweegt met hoeksnelheid ω die uitgedrukt wordt in rad/s, dan is zijn lineaire snelheid v te berekenen als v = r.ω met eenheid m/s. De radialen worden niet meer vermeld.

De controle of een formule werkelijk uitdraait op een grootheid met de gewenste dimensie wordt als zeer belangrijk beschouwd bij het beoefenen van de fysica.

Elementaire bewerkingen met vectoren

Inleiding

Een vector is een element van een vectorruimte. Voor de beschrijving hiervan kan men terecht op andere plaatsen. Voor de natuurkundige en de ingenieur zijn vectoren grootheden die niet alleen een grootte maar ook een richting hebben: kracht, snelheid, enz. In het vlak kan deze richting aangegeven worden met een hoek t.o.v. een referentierichting tussen 0 en 360° of als een combinatie van een hoek tussen 0 en 180° en een zin. Zin is in feite het element richting in een eendimensionaal systeem. Vectoren worden schetsmatig voorgesteld door een pijltje. Het is ook in vele boeken de gewoonte een pijltje te plaatsen boven de symbolen van vectoriële grootheden. Als dat te moeilijk is voor de drukker, wordt er soms een streepje boven of onder het symbool gezet, of wordt het symbool in vet gedrukt. In een formule of vergelijking kan men vectoren immers niet zo maar vervangen door een getal. Alleen de coördinaten in een of ander coördinatensysteem kunnen vervangen worden door getallen. Het is dus belangrijk goed te weten of men met vectoren of met getallen te maken heeft.

Vectoren zal men moeten specificeren ten opzichte van een basis. Het aantal basisvectoren bepaalt de dimensie van de vectorruimte en omgekeerd. In de fysica beschouwt men vectoren als grootheden die onafhankelijk van een basis bestaan. Men zal pas terugvallen op een basis als men niet verder kan, bv. omdat men numerieke berekeningen wil uitvoeren. Bij bewerkingen met een vectorieel product, is de volgorde van de termen soms afhankelijk van de keuze die men gemaakt heeft voor de voorstelling van een rotatie als vector (zie infra). Deze keuze bepaalt ook of men met een rechts- of linksdraaiend assenkruis werkt (zie infra). Sommige vectoriële formules zijn dus niet volledig onafhankelijk van het type assenkruis dat men gebruikt.

Scalair product

Een scalair product is een bewerking waarbij een koppel vectoren afgebeeld wordt op een reëel getal. De operator wordt meestal voorgesteld als een punt, vandaar de Engelse benaming van "dot product". Om onderscheid te maken tussen de punt als teken voor de vermenigvuldiging van twee reële getallen, wordt die punt dikwijls op halve hoogte tussen de argumenten geplaatst in plaats van op de basislijn, zoals hieronder, of zwaarder gedrukt:

${\vec {a}}\,\cdot \,{\vec {b}}$

Het scalair product heeft volgende eigenschappen:

1. Distributiviteit
   $(c_{1}{\vec {a_{1}}}+c_{2}{\vec {a_{2}}})\cdot {\vec {b}}\,=\,c_{1}({\vec {a_{1}}}\cdot {\vec {b}})+c_{2}({\vec {a_{2}}}\cdot {\vec {b}})$
2. In een reële vectorruimte is het scalairproduct commutatief:
   ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\,=\,{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}$
3. In een Euclidische vectorruimte is de norm van een vector:
   $||{\vec {a}}||={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}$
4. Als geldt
   ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$
   dan staan a en b loodrecht op elkaar, zijn orthogonaal. Deze eigenschap van het scalair product maakt het geschikt voor een test van de orthogonaliteit van 2 vectoren.

Men kan uit elke vector een eenheidsvector afleiden met dezelfde richting als die vector door hem te delen door zijn norm. Als de basisvectoren othogonaal zijn t.o.v. elkaar, dan spreekt men van een orthogonale basis. Men kan een basis ook altijd schrijven met eenheidsvectoren. Een basis waarvan de basisvectoren orthogonaal zijn en eenheidsvectoren zijn is een orthonormale basis.

Men kan een scalair product op 2 manieren uitrekenen:

• met de goniometrische vorm:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a.b.\cos {\alpha }$

waarbij α de hoek is tussen beide vectoren.

• met orthogonale coördinaten:

in elke orthogonaal coördinaten systeem kan het scalair product geschreven worden als de som van de producten van gelijknamige coördinaten. In een cartesisch assenkruis krijgt men:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{x}.b_{x}+a_{y}.b_{y}+a_{z}.b_{z}$

Of in het algemeen:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\sum _{i}{a_{i}.b_{i}}$

De combinatie van beide formules laat toe om de hoek tussen 2 vectoren te berekenen als men de beschrijving van de vectoren in termen van een orthogonaal assenkruis kent: $\cos {\alpha }={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{||{\vec {a}}||.||{\vec {b}}||}}$

Dikwijls wordt ook als conventie aangenomen dat het symbool van een vector zonder het vectorpijltje of -streepje erboven staat voor de norm van de vector. Het maakt de notaties een pak lichter. Dus: $a=||{\vec {a}}||$

Met deze conventie wordt bv. de vorige uitdrukking:

$\cos {\alpha }={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{a.b}}$

Voorstelling van rotaties als vectoren

In de fysica stelt men rotaties, hoeksnelheden en hoekversnellingen voor als vectoren. Hiervoor worden de volgende conventies gebruikt: een rotatie wordt voorgesteld door een vector waarvan de richting evenwijdig is aan de rotatie as. Voor de zin zijn er twee mogelijkheden:

• ofwel de zin waarin een rechtsdraaiende schroef vooruit gaat bij het uitvoeren van die rotatie;
• ofwel de zin waarin een linksdraaiende schroef vooruit gaat bij het uitvoeren van die rotatie.

De eerste is de rechtsdraaiende conventie en wordt in deze tekst gevolgd.

Er is een verband tussen de rechtsdraaiende conventie en wijzerzin (zin = richting). De rechtsdraaiende conventie is hetzelfde als: een rotatie in wijzerzin zien betekent kijken in de richting van de pijl.

Voorbeeld: als een fiets van links naar rechts voor u passeert, dan zal de rotatie van elk wiel voorgesteld worden door een horizontale pijl die van u weg wijst.

Er moet echter opgemerkt worden dat een eindige rotatie, de verdraaiïng over een bepaalde hoek, geen echte vector is omdat hij niet voldoet aan de voorwaarde van commutatieve som. M.a.w. bij het na elkaar uitvoeren van meerdere draaiïngen over een bepaalde hoek is de volgorde belangrijk.

Bij snelheid, versnelling, kracht ... is de zin van het vectorpijltje een fysisch gegeven, dat onafhankelijk is van elke conventie. Bij rotaties is de zin van het pijltje niet fysisch bepaald, maar door een conventie.

Positieve en negatieve draaizin

De termen “positief” en “negatief” kunnen alleen gebruikt worden voor getallen. Voor vectoriële grootheden kunnen ze alleen gebruikt worden in de context van de projectie van een vector op een as.

Binnen een assenkruis is de positieve draaizin de zin van een rotatie die samenvalt met de positieve zin van één van de assen. Dit komt bij definitie overeen met rotaties volgens een cyclische permutatie van de assen:

• van x-as naar y-as is de positieve zin voor de z-as;
• van y-as naar z-as is de positieve zin voor de x-as;
• van z-as naar x-as (let hier op de volgorde!) is de positieve zin voor de y-as.

Rechtsdraaiende en linksdraaiende rechthoekige assenkruisen

Wanneer men beide bovenstaande definities combineert krijgt men een rechtsdraaiend of linksdraaiend assenkruis (zie figuur infra). Houdt men de zin van x- en y-as gelijk en verandert men alleen de conventie voor de zin, dan bekomt men het tweede assenkruis. Meestal echter stelt men een assenkruis voor met de z-as omhoog. Dit kan men bekomen door ook de x- en y-as om te wisselen bij het overgaan van de ene conventie naar de andere . Algemeen geldt trouwens dat men door omwisselen van twee assen overgaat van het ene type assenkruis naar het andere.

reschts- en linksdraaiende assenkruisen

Vectorieel product

Het vectorieel product van 2 vectoren ${\vec {a}}$ en ${\vec {b}}$ wordt gedefinieerd als de vector ${\vec {c}}$ waarvan

• de richting loodrecht staat op het vlak van ${\vec {a}}$ en ${\vec {b}}$
• de zin (zie ook Inleiding) gegeven is door de zin van de rotatie van a naar b over de kleinste hoek, volgens de conventie voor het voorstellen van een rotatie;
• de grootte gelijk is aan $||{\vec {a}}||.||{\vec {b}}||.\sin {\alpha }$ met α de hoek tussen de vectoren a en b. Met de conventie dat in formules het symbool voor een vector zonder pijltje erboven staat voor de norm van die vector kan men dit ook noteren als: c=a.b.sinα .

De grootte c van de vector is ook gelijk aan het parallellogram gebouwd op de vectoren a en b. Als b de basis vormt van het parallellogram, dan is a.sinα de hoogte ervan. Het oppervlak van een parallellogram verandert niet als men de bovenzijde verschuift evenwijdig met de basis. De hoogte blijft daarbij immers hetzelfde. Hieruit volgt dat men b mag verschuiven over zijn drager zonder dat het vectorieel product verandert. Hetzelfde geldt natuurlijk ook voor a. Een vectorieel product verandert dus niet als men één der argumenten verschuift over zijn drager.

Men noteert het vectorieel produkt meestal met een x. In het Engels spreekt men daarom van "cross product". In Franse boeken treft men ook wel het symbool $\wedge$ aan.

Uit de definitie volgt dat het vectorieel product nul is voor evenwijdige vectoren.

Eigenschappen

• Distributiviteit :

${\vec {a}}\times (k{\vec {b}}+m{\vec {c}})=k({\vec {a}}\times {\vec {b}})+m({\vec {a}}\times {\vec {c}})$

• Anticommutatief:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}})$

• als men de eenheidsvecoren volgens de cartesische assen voorstelt door ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ dan geldt:

${\vec {i}}\times {\vec {j}}={\vec {k}}$

${\vec {j}}\times {\vec {k}}={\vec {i}}$

${\vec {k}}\times {\vec {i}}={\vec {j}}$

Het vectorieel product van 2 vectoren in termen van hun cartesische coördinaten wordt dan:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}){\vec {i}}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}){\vec {j}}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}){\vec {k}}$

Men kan deze formules gemakkelijk onthouden door op te merken dat er een cyclische permutatie in zit: de x-coördinaat van het resultaat begin met termen in y en z, y-coördinaat van het resultaat begin met termen in z en x en z-coördinaat van het resultaat begin met termen in x en y. Men kan vooral voor berekeningen ook beroep doen op een matrixnotatie: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$
Beschouwt men dit als een determinant die men uitwerkt naar de eerste rij (zie:Determinant), dan bekomt men de vorige formule. In sommige werken worden de eenheidsvectoren op de laatste rij gezet i.p.v. op de eerste.

Het blijkt uit deze formules dat het resultaat volgens een bepaalde as alleen afhangt van de orthogonale projecties van de argumenten in het vlak loodrecht op die as. Deze eigenschap is volledig algemeen want men kan het assenkruis natuurlijk met elke oriëntatie tekenen.

Toepassing: moment van een kracht

Het moment van een kracht F t.o.v. een punt wordt gedefinieerd als het vectorieel product van de positievector r vanuit dat punt naar het aangrijpingspunt van de kracht met de kracht. Als het referentiepunt de oorsprong is, dan wordt die positievector de positievector van het aangrijpingspunt:

${\vec {\mu }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$

Het moment van een kracht ten opzichte van een as is het moment van die kracht t.o.v. een punt op die as, geprojecteerd op die as.

Als men onderstelt dat die as de z-as is, dan blijkt uit bovenstaande formules voor de z-component van een vectorieel product dat de z-coördinaten van de argumenten er niet in voorkomen. De positie van het punt langs de as heeft dus geen belang. Het blijkt dat die z-component alleen beïnvloed wordt door de x- en y-componenten van de argumenten, d.i. door de componenten loodrecht op de as.

Voor tweedimensionale problemen zal men dikwijls vereenvoudigde berekeningsmethodes gebruiken, die berusten op de eigenschap dat het vectorieel product van evenwijdige vectoren 0 is en dat van loodrecht op elkaar staande vectoren gewoon het product is van de groottes van beide vectoren. Dit leidt tot de volgende drie mogelijkheden voor het berekenen van een moment in twee dimensies.

Eerste methode: berekening in termen van Cartesische coördinaten
We schrijven de positievector als r(x,y) en de kracht als F(X,Y). We gebruiken de matrixnotatie om het vectoriële product uit te rekenen:

Vectorieel product in cartesische coördinaten

Vectorieel product in cartesische coördinaten

Tweede methode: ontbinden van de kracht

Vectorieel product

Bij deze methode ontbinden we de kracht in een component F_e evenwijdig aan de positievector en een component F_l loodrecht erop. Het moment wordt gegeven door de grootte van de positievector x de grootte van de component van de kracht loodrecht erop.

Men kan dit uitwerken als:

${\vec {\mu }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {r}}\times ({\vec {F_{e}}}+{\vec {F_{l}}})$

$=({\vec {r}}\times {\vec {F_{e}}})+({\vec {r}}\times {\vec {F_{l}}})=0+({\vec {r}}\times {\vec {F_{l}}})=\pm r.F_{l}$

Voor het bepalen van het teken kijkt men naar het rotatie-effect dat de kracht zou hebben. Men stelt zich voor dat de positievector een voorwerp is (bv. een deur) die kan draaien rond een as in de oorsprong (loodrecht op het vlak). Als we de kracht F_l laten werken op dit voorwerp zal het in tegenwijzerzin draaien. In een klassiek assenkruis wordt dit dus +.

Men kan ook zien dat F_l = F.sin θ, zodat het resultaat wordt: r.F sin θ, zoals door de goniometrische vorm verwacht wordt.
Derde methode: met de loodrechte afstand naar de drager

Vectorieel product

De bovenstaande ontbinding kan ook op het eerste argument toegepast worden. Dan splitst men r in een component r_e evenwijdig aan F en een component r_l loodrecht op F.  r_l noemt men meestal de loodrechte afstand naar de drager van de kracht. Analoog met vorige kan men dit uitwerken als:

${\vec {\mu }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}=({\vec {r_{e}}}+{\vec {r_{l}}})\times {\vec {F}})$

$=({\vec {r_{e}}}\times {\vec {F}})+({\vec {r_{l}}}\times {\vec {F}})=0+({\vec {r_{l}}}\times {\vec {F}})=\pm r_{l}.F$

Voor het teken gaat men te werk als bij vorige methode.

Men kan ook zien dat r_l = r.sin θ, zodat het resultaat wordt r.F sin θ, zoals door de goniometrische vorm verwacht wordt.

Klassiek legt men deze methode meestal uit door te steunen op het feit dat de grootte van een vectorieel product overeenkomt met het oppervlak van een parallellogram waarvan F de basis is en de loodrechte afstand de hoogte.

Men kan de eerste methode, met de cartesische coördinaten, ook lezen als het toepassen van deze laatste methode op de x- en y-component van de kracht.

Hoeksnelheid en lineaire snelheid

verband hoeksnelheid en lineaire snelheid

Bij een onvervormbaar voorwerp dat ronddraait met een hoeksnelheid ω kan de lineaire snelheid v_P van elk punt bepaald worden m.b.v. een vectorieel product:

${\vec {v}}_{P}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{P}$

waarbij r_P de positievector van het punt P is vanuit een willekeurig punt van de rotatieas. Dat de positie van het punt op de rotatieas, van waaruit de vector r_P vertrekt, geen belang heeft, kan men hier het best zien door te werken met de goniometrische uitwerking voor de grootte van v_P:

$\displaystyle v_{P}=\omega .r_{P}.\sin \theta =\omega .d$

Product van drie vectoren

"Box product"

box product

${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}$

Het resultaat komt overeen met de inhoud van een balk gebouwd op deze 3 vectoren. In het Engels spreekt men daarom van "box product". De haakjes zijn in feite overbodig daar het tweede argument van het scalair product een vector moet zijn. Het resultaat blijft hetzelfde als men een cyclische permutatie uitvoert van de argumenten. Om het volume van een balk te berekenen, heeft het immers geen belang welk vlak men als grondvlak neemt.

Dubbel vectorproduct

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$

Hier zijn de haakjes wel noodzakelijk om het resultaat eenduidig te maken. Men kan deze formule herschrijven in een andere vorm. Hiervoor stelt men

${\vec {d}}={\vec {b}}\times {\vec {c}}$

De x-component van het resultaat kan dan geschreven worden als:

$\displaystyle x=a_{y}d_{z}-a_{z}d_{y}=a_{y}(b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x})-a_{z}(b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z})$

Beide positieve termen bevatten b_x en beide negatieve bevatten c_x. Groeperen levert:

$\displaystyle x=b_{x}(a_{y}c_{y}+a_{z}c_{z})-c_{x}(a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})$

Door bijvoegen van $\textstyle a_{x}b_{x}c_{x}-a_{x}b_{x}c_{x}$ bekomt men uitdrukking die kan herschreven worden als:

$x=b_{x}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-c_{x}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})$

Voor de gehele uitdrukking krijgt men:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-{\vec {c}}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})$

Bemerk dat de vectoren die in het dubbele vectorproduct tussen de haakjes staan, nu de vectoren voor de scalaire producten vormen.

Ontbinding van een vector

In vele problemen zal men een gegeven vector moeten vervangen door 2 of meerdere vectoren volgens gegeven richtingen zodat de som van deze laatste gelijk is aan de gegeven vector. Dit noemt men het ontbinden van de vector in componenten. Deze ontbinding ligt eenduidig vast als het aantal richtingen kleiner is dan of gelijk aan de dimensie van de vectorruimte.

Voorbeeld

Voorbeeld van ontbinding van 2 vectoren

De figuur toont een gewicht G dat met een kabel opgehangen is aan twee staven die aan een muur vastzitten. Als men mag onderstellen dat de krachten die in het bevestigingspunt van de kabel in de staven opgewekt worden, de richting hebben van die staven, hoe groot zijn dan die krachten en welke zin hebben ze? De hoek tussen de staven is 45° en de gewicht is 1000 N.

Men moet twee vectoren F₁ en F₂ vinden, zodat de vectoriële som gelijk is aan G. Men kan best beroep doen op het parallellogramalgoritme voor de som van twee vectoren. De mogelijke richtingen zijn gegeven door de staven en het verlengde van de staven. G moet als diagonaal van het parallellogram tussen de twee zijden liggen. Dat geeft dadelijk de oplossing zoals rechts voorgesteld.

F₁ = 1000 N en is een trekkracht op de bovenste staaf.
F₂ = 1000/cos 45° = 1414 N en is een druk op de schuine staaf. Bemerk dat dit meer is dan het gewicht!

Differentiëren van vectoren

Het differentiëren van een scalair of vectorieel product volgt de regels zoals voor het differentiëren van een product van 2 reële functies. Men krijgt dus een som van 2 termen. B.v.

${\frac {d}{dt}}({\vec {a}}\cdot \ {\vec {b}})={\frac {d{\vec {a}}}{dt}}\cdot \ {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot \ {\frac {d{\vec {b}}}{dt}}$

Ook het product van een reële en een vectoriële functie volgt deze regels.

Als toepassing kan men volledig algemeen bewijzen dat de afgeleide van een vector met constante grootte loodrecht moet staan op die vector. Een vector met constante grootte kan alleen veranderen van richting. Het scalair product van de vector met zichzelf levert het kwadraat van de grootte, dat dan ook constant moet zijn. Zij ${\vec {a}}$ een willekeurige functie van q:

${\vec {a}}\cdot \ {\vec {a}}=C$

${\frac {d}{dq}}({\vec {a}}\cdot \ {\vec {a}})=2({\frac {d{\vec {a}}}{dq}}\cdot \ {\vec {a}})=0$

Hieruit volgt dat ${\frac {d{\vec {a}}}{dq}}$ loodrecht moet staan op ${\vec {a}}$.

Omgekeerd geldt ook volledig algemeen dat als de afgeleide van een vector loodrecht staat op de oorspronkelijke vector, deze dan zal veranderen van richting (= ronddraaien) maar niet van grootte.

Voorstelling van onbekende vectoren

In vectoriële vergelijkingen komen bekende en onbekende vectoren voor. Bij het projecteren van bekende vectoren zal men normaal het teken van de projectie expliciet aangeven. Bv. de projectie van de valversnelling g zal op een naar boven gerichte y-as als -g genoteerd worden.

Voor de projecties van onbekende vectoren zijn er twee systemen in omloop. Bij het eerste systeem worden onbekende projecties gewoon door een symbool voorgesteld, praktisch betekent dit: als een positieve waarde. Het teken van het resultaat geeft dan de zin aan van de projectie ten opzichte van de oriëntatie van de as waarop geprojecteerd werd. Het nadeel van deze methode is dat men wel eens vergeet om na te denken of het bekomen resultaat wel logisch is. Wanneer een onbekende component een deel is van een actie-reactiekoppel en zo in twee vergelijkingen voorkomt, moet men erop letten dat er tegengestelde tekens ingevoerd worden in de twee vergelijkingen. Het symbool in de tweede vergelijking staat dan immers niet meer volledig op zichzelf, maar is verbonden met het symbool in de eerste vergelijking. Als men beide lid aan lid optelt, moeten actie-reactiekoppels eruit verdwijnen. Ook bij het opschrijven van bindingsvergelijkingen moet men eraan denken dat men de onbekenden in feite als grootheden met positieve zin beschrijft. Anderzijds is het de enige methode die bruikbaar is voor het opstellen van differentiaalvergelijkingen. Deze aanpak wordt vooral gevolgd door wis- en natuurkundigen.

Bij het tweede systeem denkt men vooraf na over wat men verwacht als resultaat. Men schets de vector die men als resultaat verwacht en geeft aan de projecties een teken mee volgens de onderstelde zin van de component. Bij een actie-reactiekoppel leidt dit automatisch tot tegengestelde tekens in de twee vergelijkingen. Als het resultaat negatief is, dan betekent dit dat de gemaakte onderstelling fout is, dat de component de tegengestelde zin heeft van wat men verwachtte. Dit systeem heeft dus het voordeel dat men een duidelijk signaal krijgt als het systeem zich anders gedraagt dan men verwacht. Deze aanpak wordt vooral gebruikt door ingenieurs, die in de praktijk meer op hun schets werken dan op een zuiver theoretische basis. Het is ook de aanpak die hier gebruikt wordt omdat hijmeer intuïtief en visueel is. Het systeem is niet geschikt voor het opstellen van differentiaalvergelijkingen omdat het symbool van de onbekende component hier staat voor de absolute waarde ervan en niet voor de algebraïsche waarde, zoals vereist voor een differentiaalvergelijking.

Uiteindelijk zal een totaal andere aanpak, zoals onder andere de methode van Lagrange, tot een meer automatisch opstellen van de vergelijkingen leiden, vooral bij complexe problemen.

Slotbemerkingen

Vectoren in de fysica

Sommige fysische grootheden kunnen gekenmerkt worden door 1 reëel getal: massa, tijd, lengte, energie. Het zijn scalaire grootheden. Maatgetallen van verschillende grootheden kan men niet bij elkaar optellen, bijvoorbeeld massa bij tijd. Men zegt dat men alleen grootheden met zelfde dimensie bij elkaar kan optellen of van elkaar kan aftrekken. Er zijn dus voor de fysica verschillend verzamelingen reële getallen.

Vectoren zijn fysische grootheden die voorgesteld moeten worden door een rij getallen. Maar ook hier geldt dat men geen grootheden van verschillende dimensie bij elkaar kan optellen of van elkaar kan aftrekken. Er zijn dus ook meerdere verzamelingen vectoren. De fysici hebben echter de gewoonte om zo veel mogelijk informatie bijeen te brengen in één tekening. Zo zal men bij de baan van een puntmassa soms ook een snelheidsvector, een versnelling of een kracht tekenen. De positievector r heeft componenten x en y (niet r_x en r_y !) die afgelezen worden op de x- en y-as. De snelheid heeft componenten v_x en v_y, die men zou moeten aflezen op v_x- en v_y-assen. De componenten van een kracht F zou men moeten aflezen in een assenkruis met F_x- en F_y-assen. Men leest toch ook geen temperatuur af op een weegschaal en geen gewicht op een thermometer? Deze assen kiest men normaal met zelfde oriëntatie als de assen van de positie, anders moet men supplementaire transformaties inlassen bij vele bewerkingen. Men moet echter onthouden dat een wiskundig correcte voorstelling van deze vectoren eist dat ze in hun eigen assenkruis vanuit de oorsprong zouden uitgezet worden. Het plaatsen van deze vectoren op een willekeurige plaats van een tekening zal weinig problemen opleveren als men vertrouwd is met de voorstelling van de vector als een pijltje, waarbij de componenten volgens een bepaalde richting opgevat worden als stappen in die richting. In de fysica worden vectoren gebruikt om een beschrijving te geven van fenomenen zonder een beroep op een assenkruis. Slechts wanneer men numerieke berekeningen moet uitvoeren, zal men moeten grijpen naar één of ander coördinatensysteem, want alleen de coördinaten kunnen door getallen weergegeven worden.

Volgens sommigen zouden de vectoren in de fysica ook niet dezelfde zijn als in de wiskunde. De fysica zou volgens hen glijdende vectoren gebruiken en de wiskunde vrije vectoren. M.i. zou dit betekenen dat de fysica wiskunde gebruikt die niet tot de wiskunde behoort, wat mij een contradictio in terminis lijkt. Deze opinie berust op een slecht begrip van de equivalentierelatie zoals behandeld in het volgend hoofdstuk over "Equivalente vectorsystemen".

Van vereenvoudigde naar wiskundig correcte voorstelling

Veel grootheden in de fysica worden in een eenvoudige voorstelling beschreven als het resultaat van een deling. Zo wordt snelheid eenvoudig gedefinieerd als Δx/Δt . Dit is een formulering die beroep doet op een interval Δt in de tijd. Maar wat als de snelheid voortdurend verandert? Dan is dat natuurlijk maar een benadering, een gemiddelde gedurende het interval Δt . De ogenblikkelijke snelheid krijgt men als men het interval zeer klein neemt, uiteindelijk naar 0 laat gaan. Dan schrijft men geen Δ meer, maar een "d":

$v={\frac {dx}{dt}}$

Wiskundig zegt men dat v de afgeleide is van x naar de tijd. Grootheden die bij een eenvoudige voorstelling gedefinieerd worden als een deling, zullen in een wiskundig correcte voorstelling gedefinieerd worden als een afgeleide. De afgeleide v is gedefinieerd als de limiet van Δx/Δt wanneer Δt naar 0 gaat. Dan gaat natuurlijk ook Δx naar 0, maar de verhouding van beide hoeft niet naar 0 te gaan.

De "dx" en "dt" noemt men differentialen. Dikwijls worden die dx en dt beschouwd als zeer, zeer kleine intervallen, soms ook wel "infinitesimaal" kleine intervallen genoemd. Wiskundig moet men zeggen dat differentialen geen intervallen meer zijn, maar de situatie in een punt beschrijven. Een lijn kan men vastleggen door 2 punten ervan te geven. Door 1 punt kan men oneindig veel lijnen trekken. Maar een raaklijn aan een kromme wordt gedefinieerd als de limietstand van een lijn door 2 punten van de kromme als die 2 punten naar elkaar toekomen en uiteindelijk samenvallen. Op dat ogenblik heeft de lijn maar 1 punt meer gemeenschappelijk met de kromme, maar haar stand is toch volledig bepaald. Het is dikwijls handig om eerst te redeneren op een benadering in een klein interval, waarbij men de Δ-notatie gebruikt, en dan later over te gaan tot de differentiaalvorm, die geldt van punt tot punt. In de meeste werken voor natuurkundigen en ingenieurs wordt dat onderscheid echter niet gemaakt, wat spijtig is. Ook bij virtuele arbeid moet men de δr niet beschouwen als een kleine verplaatsing, zoals het nu waarschijnlijk in alle handboeken gebeurt.

Men moet ${\frac {d}{dt}}$ beschouwen als een "operator", als één samengesteld symbool voor de operatie "differentiëren". Men mag dus in de uitdrukking voor v hierboven niet dt van het rechterlid naar het linkerlid overbrengen om v.dt = dx te bekomen. Men kan als operator ook de notatie D_t gebruiken, v=D_t x, en dan valt er niets over te brengen. Die overgang berust op de definitie van de differentiaal van een functie f(x) als df=f'.dx waarin f' staat voor de afgeleide van f naar x. Voluit geschreven:

$dx={\frac {dx}{dt}}\,dt=v\,dt$

Het ”overbrengen” kan men natuurlijk ook beschouwen als een soort mnemotechnisch trucje.

Differentialen zijn te beschouwen als entiteiten van een eigen soort. Ze kunnen alleen bij andere differentialen opgeteld of ervan afgetrokken of ermee vergeleken worden. Een vergelijking tussen differentialen noemt men een differentiaalvergelijking. Men kan zeggen dat een differentiaalvergelijking de verandering van een systeem in een punt of op een gegeven ogenblik weergeeft. Van daaruit kan men dan de evolutie van het systeem gedurende een interval proberen op te bouwen, maar soms lukt dat alleen via een soort simulatie in een computer.

Andere grootheden worden bij een eenvoudige voorstelling gedefinieerd als een product. B.v. arbeid = kracht x afgelegde weg. Als de kracht echter van punt to punt verandert, zoals bv. bij het indrukken van een veer, dan zal men beroep moeten doen op een integraal. De wiskundig correcte definitie van arbeid wordt dan: $A=\int {{\vec {F}}.d{\vec {r}}}$. Grootheden die in de eenvoudige voorstelling gedefinieerd werden door een product, zullen in een correcte voorstelling moeten gedefinieerd worden door een integraal.

De wetten van de beweging worden eerst afgeleid voor punten en puntmassa's. Wanneer men met de uitgebreidheid van reële voorwerpen rekening moet houden, dan voert men dat ook meestal in 2 stappen in. Als men het gewicht van een muur moet berekenen en die muur is uit bakstenen opgetrokken, dan kan men rekenen met voor elke baksteen zijn gewicht als aangrijpend in het massacentrum van de baksteen. Men zal dan werken met formules waarin een som over alle bakstenen voorkomt. Iets als:

$\displaystyle G=\sum _{i}{g.m_{i}}$

met m_i de massa van elke baksteen. Wanneer de muur in beton is gegoten, dan heeft men een continu medium en zal men de som vervangen door een integraal:

$\displaystyle G=\int _{Vol}g.dm$