Klassieke Mechanica

Opzet en doelgroep

Dit boek heeft de bedoeling om op een wiskundig correcte manier de beginselen van de klassieke mechanica voor te stellen. Er wordt hierbij gedacht aan personen die ooit een cursus mechanica gekregen hebben en hun geheugen willen opfrissen, of personen die niet veel over dit onderwerp gezien hebben maar er wel wat meer willen over weten. Dit boek had ook "Theoretische Mechanica" of "Analytische Mechanica" kunnen heten. Dit wekt echter te zeer de verwachting van een sterk wiskundige behandeling. Het accent moet echter vallen op de fysische fenomenen.

De Franse wiskundige Lagrange beroemde zich erop dat hij een boek over mechanica geschreven had zonder één tekening. Dat is niet de bedoeling van dit boek. Eenvoudige beginselen worden soms wat uitgebreider toegelicht, om de drempel zo laag mogelijk te houden. Zo wordt er vrij lang stilgestaan bij de eenparig versnelde beweging, wordt het toepassen van de tweede wet van Newton uitvoerig behandeld en wordt het begrip ”rotor” uitgelegd bij de behandeling van potentiaalkrachten.

Onderwerpen waarvoor enige kennis van differentiaal- en integraalrekenen of lineaire algebra ondersteld wordt, zullen wat sneller behandeld worden. Het is immers niet de bedoeling om een boek over die onderwerpen te schrijven. Wie een bijdrage wil leveren wordt verzocht uitgewerkte voorbeelden van de toepassing van de formules bij te voegen. Het is immers door formules toe te passen dat men de werkelijke draagwijdte ervan het best gaat aanvoelen. Om een vlotte lectuur mogelijk te maken worden langere en ingewikkelde afleidingen liefst in een afzonderlijke paragraaf geplaatst.

Deze Klassieke Mechanica is niet meer bruikbaar wanneer het gaat over zeer kleine deeltjes, zoals atomen en elektronen, waarbij men moet overschakelen op de kwantummechanica, en bij voorwerpen die met zeer grote snelheid bewegen (groter dan 100 000 km/u), waarbij men de relativistische mechanica moet gebruiken (zie bv. relativistische impuls).

Er bestaat ook een pdf-versie van dit werk (4,4 MB), met een aanklikbare inhoudstafel en index. Klik hier.

Inhoudstafel

1. Basisbegrippen
   1. Dimensies en eenheden
   2. Elementaire bewerkingen met vectoren
   3. Slotbemerkingen
      1. Vectoren in de fysica
      2. Van vereenvoudigde naar wiskundig correcte voorstelling
2. Equivalente vectorsystemen
   1. De verplaatsingsformule
   2. De equivalentierelatie
   3. Systemen van evenwijdige krachten
   4. Vlakke systemen
   5. Samenlopende krachten
   6. De schroefas
3. Statica: vectoriële methode
   1. Evenwicht van een enkelvoudig onvervormbaar voorwerp
   2. Vrijheidsgraden en verbindingen
   3. Isostatisch, hyperstatisch en hypostatisch systeem
   4. Evenwicht van samengestelde voorwerpen
   5. Vakwerken
   6. Continu vervormbare media
4. Statica: Methode van de virtuele arbeid
   1. Afleiding van de formules
   2. De klassieke uitwerking
   3. Toepassingen
   4. Slotbemerkingen
5. Kinematica
   1. De definities
      1. Eenparige en eenparig versnelde beweging
         1. Toepassing: remweg
   2. De vectoriële formules
      1. Cartesische coördinaten
         1. Cirkelbeweging - Normale en tangentiële versnelling
         2. Valparabool (1 - 3)
      2. Poolcoördinaten
      3. Berekenen van normale en tangentiële versnelling
6. Kinematica-2: bewegende referentiesystemen
   1. Snelheden
      1. De drie snelheden
      2. Voorbeelden
   2. Versnellingen
      1. Een nieuwe operator
      2. De versnelling
      3. Coriolisversnelling en bewegingen op aarde
      4. Bolcoördinaten
7. Kinematica-3: Aanvullingen
   1. Ogenblikkelijk rotatiecentrum
   2. Poolbaan en poolkromme
   3. Samenstellen van rotaties
8. Elementaire dynamica
   1. Wetten van Newton
   2. Impuls en behoud van impuls
   3. Arbeid en behoud van energie
   4. Gravitatiemassa en traagheidsmassa
   5. Determinisme en chaos
9. Dynamica van voorwerpen
   1. Het massacentrum
      1. Bepaling van het massacentrum
      2. Eigenschappen van het massacentrum
      3. Massacentrum en behoud van impuls
      4. Impulsmoment van een vrij bewegend voorwerp
      5. Massacentrum en energie
   2. Rotatie rond as met vaste richting
      1. Inleiding
      2. Basiswet
      3. Formule van Steiner
      4. Voorbeelden
      5. Afgeleide wetten: impulsmoment en energie
      6. Gevalstudie: het dynamisch gedrag van een auto
   3. Algemene rotatie
      1. Inleiding
      2. Basiswet
      3. Traagheidstensor
      4. Gyroscopisch effect
      5. Trillende autowielen
      6. De afgeleide van L
      7. Kinetische energie en impulsmoment
      8. Een complexer voorbeeld
      9. De hoeken van Euler - Gyratiestraal - Traagheidsellipsoïde
      10. Transformaties van de traagheidstensor en de traagheidsellipsoïde
10. Methode van Lagrange
    1. Vergelijkingen van Lagrange van de eerste vorm
    2. De Lagrangiaan
    3. Speciale gevallen
    4. Voorbeelden
    5. Dynamisch evenwicht

Aanvullingen

1. Wrijving
   1. Slepende wrijving met 4 voorbeelden
   2. Kantelen
   3. Rollen met slippen
   4. Wrijving over gebogen oppervlak bv. kabel rond paal
   5. Rollende wrijving
   6. Viskeuze wrijving
2. Traagheidskrachten
   1. Inleiding
   2. Resultante en aangrijpingspunt
   3. Traagheidskrachten en virtuele arbeid
3. Botsingen
   1. Rechte centrale botsing
   2. Schuine botsing
   3. Botsingen tussen voorwerpen
   4. Het slagcentrum
4. Centrale kracht en planetenbeweging
   1. Twee lichamen probleem
   2. Centrale kracht
   3. Formule van Binet
   4. De kegelsneden
   5. Satellietbanen
   6. De wetten van Kepler
   7. Afstotingskracht
5. Trillingen
   1. Lineaire differentiaalvergelijkingen
   2. Natuurlijke trillingen
   3. Gedempte trillingen
   4. Gedwongen trillingen en resonantie
   5. Multimodale trillingen
   6. Continue media (snaar)

  Bibliografie

Opmerkingen

Inhoud

De inhoud kan verder nog evolueren. Mechanica is een enorm breed domein en zelfs op een elementair niveau zijn er zeer veel onderwerpen die kunnen aangesneden worden.

Volgorde

Er is ook een verschil tussen een cursus en een boek waarin men het onderwerp op een gestructureerde en logische wijze wil behandelen. De volgorde waarin men de onderwerpen het liefst bestudeert, is niet noodzakelijk de volgorde zoals hier wordt gevolgd. Het is klassiek dat men de statica vóór de dynamica zet, maar in feite is de statica een toepassing van de principes van de dynamica met de eis dat lineaire en hoekversnelling nul moeten blijven. Dus zou men na de kinematica beter eerst de elementaire dynamica (ook wel de dynamica van de puntmassa genoemd) bestuderen en dan de statica.

Een analoog probleem vormt de behandeling van de traagheidskrachten. Aan de basis ervan ligt de studie van de versnellingen in bewegende referentiesystemen, maar de toepassing behoort tot de dynamica. Men kan echter moeilijk de afleiding van de deze formules weglaten uit de kinematica en pas behandelen als men ze nodig heeft in de dynamica. Ook de wrijving kan spelen bij problemen van de statica maar ook bij problemen van de dynamica. De volgorde van de onderwerpen hier is dus niet noodzakelijk de volgorde waarin de onderwerpen moeten bestudeerd worden.

Voor zelfstudie of voor een cursus lijkt de volgende volgorde het meest aangewezen: basisbegrippen, kinematica, kinematica-2, tot het niveau snelheden, niet de teksten over versnellingen in bewegende systemen, elementaire dynamica, dynamica van voorwerpen I, equivalente vectorsystemen, statica I en II, de rest van kinematica, dynamica van voorwerpen II, de methode van Lagrange. Dit laatste hoofdstuk zou in feite ook na dynamica van voorwerpen I kunnen gelezen worden. Dit is niet de klassieke volgorde, maar een volgorde die een veel betere basis geeft voor het bestuderen van de statica dan wanneer de statica gezien wordt voor men enige noties van dynamica heeft.

Links

Er zijn natuurlijk ook min of meer gelijkaardige werken in andere talen. Zo is er in het Engels "Classical Mechanics". Dat boek gaat echter vooral over de aanpak via de methode van Lagrange, is wiskundiger en is veel beperkter qua topics dan dit boek. De methode van Lagrange wordt er via de variatie rekening aangebracht i.p.v. als uitbreiding van virtuele arbeid zoals hier. Ook gebruikt de auteur soms vectorstreepjes boven de veralgemeende coördinaten, alhoewel dat scalaire grootheden zijn (reële getallen) en geen vectoren.

Interessanter is de reeks artikelen in de Engelse Wikipedia die ingeleid worden door het artikel met de titel "Classical Mechanics". Deze reeks behandelt alles wat hier behandeld wordt en meer, alhoewel dikwijls op een meer wiskundige manier

In de Franse wikibooks kan men een stukje vinden over mechanische energie en arbeid (Énergie mécanique et travail). verder zijn er nog allerhande bijdragen over delen van het onderwerp. De titels zijn te vinden op Catégorie:Mécanique, met o.a. titels als Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, Dynamique, Mécanique des fluides e.a.

Wie het Duits machtig is kan veel terugvinden in onderdelen van het bredere boek Einführung in die Theoretische Physik - Ein Lehrbuch in mehreren Bänden

Referenties van gedrukte boeken vindt men in de bibliografie op het einde van dit werk.

Hulpmiddelen

De volgende OpenSource programma's werden gebruikt bij dit boek:
De meeste grafieken werden gemaakt met LabPlot 1.6.0 (http://labplot.sourceforge.net/)
De numerieke simulaties werden uitgevoerd met Scilab 5.1.1 (www.scilab.org/) en hoger
De pdf-versie werd gezet met Lyx 1.6.0 (www.lyx.org/) en hoger
De figuren werden gemaakt met een grote verscheidenheid van programma's, van grafische programma's onder DOS, begin 1990, tot Kolourpaint (KDE), LibreOffice.org Draw en Inkscape.

Geschiedenis

In april 2017 werden alle links naar simulaties nagekeken. Recent wordt Java niet meer ondersteund door de meeste browsers, waardoor Java-applets niet meer werken. Vele auteurs hebben hun applets omgewerkt naar HTML5, dat zowel op PC als op tablets en smartphones zou moeten werken. Ondertussen zijn ook sommige sites verdwenen en anderen bijgekomen.

In april 2018 de tekst over viskeuze wrijving en de valproef van Simon Stevin herwerkt.