2.415
bewerkingen
geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
|
==Definitie 20.1==
Zij ''V'' een vectorruimte over het
:<math>\!\,B(\lambda x + y, z)=\lambda B(x,z)+B(y,z)</math>
en
:<math>\!\,B(z,\lambda x + y)=\lambda B(z,x)+B(z,y)</math>
Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als <math>(v_1,\ldots,v_n)</math> een basis is van ''V'', kunnen we de vectoren ''x'' en ''y'' in deze basis uitdrukken:
Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding ''B'' van ''x'' en ''y'' vinden we dan:
:<math>B(x,y)=B\left(\sum_{i=1}^n \xi_i v_i,\sum_{j=1}^n \eta_j v_j\right) = \sum_{ij}\xi_i\eta_j B(v_i,v_j)=\sum_{ij}\xi_i\beta_{ij}\eta_j=\xi^T\beta\eta .</math>
Daarin is <math>\!\beta</math> de ''n×n''-matrix met elementen <math>\beta_{ij}= B(v_i,v_j)</math> die t.o.v. de gekozen basis hoort bij ''B''.
Deze formule noemen we de polaire formule.
<!--
▲:<math> v=\sum_{i=1}^n x_i v_i </math>
:<math>\begin{align} \langle v,w\rangle&=\left\langle \sum_{i=1}^n x_i v_i,\sum_{i=1}^n y_i v_i \right\rangle\\
\langle v_n,v_1 \rangle & \ldots & \langle v_n,v_n \rangle\\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\\vdots\\y_n \end{pmatrix} \end{align}</math>
-->
Aangezien we met een symmetrische vorm werken wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrische is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm.
| |||