Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies

geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting
 
==Definitie 20.1==
Zij ''V'' een vectorruimte over het lichammlichaam ''K''. Een '''bilineaire vorm ''' op ''V'' is een afbeelding <math>B :V\times V\to K</math>, die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor ''x, y'' en ''z&nbsp;&isin;&nbsp;V, en ''λ&isin;K'' geldt
:<math>\!\,B(\lambda x + y, z)=\lambda B(x,z)+B(y,z)</math>
en
:<math>\!\,B(z,\lambda x + y)=\lambda B(z,x)+B(z,y)</math>
 
 
Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als <math>(v_1,\ldots,v_n)</math> een basis is van ''V'', kunnen we de vectoren ''x'' en ''y'' in deze basis uitdrukken:
:<math>x=\sum_{i=1}^n \xi_i v_i </math> en v<math>y=\sum_{i=1}^n x_i\eta_i v_i </math>
 
Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding ''B'' van ''x'' en ''y'' vinden we dan:
 
:<math>B(x,y)=B\left(\sum_{i=1}^n \xi_i v_i,\sum_{j=1}^n \eta_j v_j\right) = \sum_{ij}\xi_i\eta_j B(v_i,v_j)=\sum_{ij}\xi_i\beta_{ij}\eta_j=\xi^T\beta\eta .</math>
 
Daarin is <math>\!\beta</math> de ''n×n''-matrix met elementen <math>\beta_{ij}= B(v_i,v_j)</math> die t.o.v. de gekozen basis hoort bij ''B''.
 
 
 
 
Deze formule noemen we de polaire formule.
 
<!--
==Matrix voorstellingen==
 
Gegeven een symetrische bilineaire vorm op een vectroruimte <math>\textstyle (F,V,+)</math> kunnen we steeds een matrix van die vorm opstellen. Kies eerst een basis <math>\textstyle \beta=\{v_1,\ldots,v_n\}</math> van <math>\textstyle V</math>. Dan kan je iedere <math>\textstyle v\in V</math> schrijven t.o.v. de basisvectoren:
 
:<math> v=\sum_{i=1}^n x_i v_i </math>
 
Dan is
 
:<math>\begin{align} \langle v,w\rangle&=\left\langle \sum_{i=1}^n x_i v_i,\sum_{i=1}^n y_i v_i \right\rangle\\
\langle v_n,v_1 \rangle & \ldots & \langle v_n,v_n \rangle\\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\\vdots\\y_n \end{pmatrix} \end{align}</math>
-->
 
Aangezien we met een symmetrische vorm werken wil dit zeggen dat de matrix ook symmetrische is. Ook in de omgekeerde richting, aan iedere symmetrische matrix kunnen we een symmetrische vorm linken en bijgevolg een kwadratische vorm.
2.413

bewerkingen

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.