Versie van 13 sep 2013 16:52 bewerken Jhncls (overleg \| bijdragen) 504 bewerkingen eigenschappen ← Vorige wijziging		Versie van 19 apr 2015 23:57 bewerken ongedaan maken Nijdam (overleg \| bijdragen) 2.415 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting Volgende wijziging →
Regel 4: ==Definitie 2.1== Een geordend eindig aantal vectoren <math>\,x_1,~~...~~\ldots, x_m</math> of een geïndiceerd willekeurig aantal <math>\,(x_i,i\in I)</math> noemen we een '''stelsel''' vectoren. ==Definitie 2.2.a== Onder een '''lineaire combinatie''' van een eindig stelsel van ''m'' vectoren <math>\,(x_1,~~...~~\ldots,x_m)</math> verstaan we een som van scalaire veelvouden van deze vectoren, dus een vector van de vorm: :<math>\,\alpha_1 x_1+~~...~~ \ldots +\alpha_m x_m= \sum_{i=1}^m \alpha_i x_i</math> ==Definitie 2.2.b== Regel 17: In de driedimensionele euclidische ruimte is de vector (2,5,6) een lineaire combinatie van de vectoren (1,1,0) en (0,1,2), want: :<math>(2,5,6)=(2,2,0)+(0,3,6)=2(1,1,0)+3(0,1,2)\,</math> De complexe getallen zijn lineaire combinaties van de complexe getallen 1 en i; immers een complex getal is van de vorm: :<math> a+bi = a\cdot 1+ b\cdot i\,</math>. De scalaire veelvouden van een vector ''x'' vormen a.h.w. een deelverzameling van ''V'', een soort lijn, die geheel door ''x'' bepaald wordt. Voegen we nog een vector ''y'' die geen veelvoud van ''x'' is toe dan vormen de lineaire combinaties van ''x'' en ''y'' een soort vlak door de lijnen die door ''x'' en door ''y'' bepaald woren. De "lijnen" en het vlak" zijn zelf ook lineaire ruimte over ''K'' ==Definitie 2.3== We zeggen dat de deelverzameling <math>\,D(x_i,i\in I)</math> van ''V'' die bestaat uit de lineaire combinaties van het stelsel vectoren <math>\,(x_i,i\in I)</math> door dit stelsel wordt '''voortgebracht''' of '''opgespannen'''. Een eindig stelsel van ''m'' vectoren <math>\,x_1,~~...~~\ldots ,x_m</math> brengt dus de deelverzameling :<math>D(x_1,~~...~~\ldots ,x_m)=\{\sum_{i=1}^m \alpha_i x_i\|\alpha_i \in K\}</math> voort. Voor een willekeurig stelsel <math>\,(x_i,i\in I)</math> geldt dat bij elke vector ''x'' in de voortgebrachte deelverzameling een eindig aantal vectoren <math>\,x_{i_1},~~...~~\ldots ,x_{i_m}</math> gevonden kan worden waarvan ''x'' een lineaire combinatie is, dus: :<math>x \in D(x_i,i\in I) \Leftrightarrow \exist{m};{\alpha_1 \ldots,\alpha_m \in K};{i_1 \ldots,i_m \in I}:x=\sum_{k=1}^m \alpha_k x_{i_k}</math> Uit het vorige volgt dat de deelverzameling <math>\,D(x_i,i\in I)</math> van ''V'' een lineaire deelruimte is van ''V''. ===Voorbeelden=== In de driedimensionele euclidische ruimte brengen de vectoren (1,1,0) en (0,1,2) een vlak voort van alle lineaire combinaties van deze twee vectoren. Regel 43 ⟶ 44: ==Stelling 2.1== De door een stelsel vectoren voortgebrachte deelverzameling <math>\,D(x_i,i\in I)</math> van ''V'' is een lineaire deelruimte. == Eigenschappen van een voortbrengend deel ~~van V~~ == Als een deelruimte D van vectorruimte V voortgebracht wordt door een een stelsel vectoren S uit ''V'', dan blijft ''D'' onveranderd als men * aan S een vector uit ''D'' toevoegt. * uit S een vector schrapt welke een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit S. * een vector uit S met een van nul verschillende scalair vermenigvuldigt.

Lineaire algebra/Lineaire combinatie: verschil tussen versies