Wikibooks

Transmissielijnen/Telegraafvergelijkingen: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
Volgende wijziging →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Nijdam (overleg | bijdragen)
2.415 bewerkingen
wordt vervolgd
 
Nijdam (overleg | bijdragen)
2.415 bewerkingen
wordt aan gewerkt
Regel 1:
=WERK IN UITVOERING=
=Telegraafvergelijkingen=
 
Een enkelvoudige elektrische transmissielijn bestaat uit twee equidistante
Regel 59:
 
(2) - ------- = l ------- + r i(x,t)
===========================================================================
De vergelijkingen (1) en (2) heten de telegraafvergelijkingen. Ze zijn
lineair, dus volgens het superpositiebeginsel kunnen we volstaan met
Regel 65 ⟶ 64:
 
We beschouwen een sinusvormig signaal met frequentie f en dus met
cirkelfrequentie wω = 2pf2πf.
We rekenen complex en schrijven u ipvi.p.v. <math>\underline{u}</math> en i ipvi.p.v. <math>\underline{i:}</math>
 
De vergelijkingen worden:
(1) wordt:
 
- -- = cjw u + g u = (g + jwc) u
v=Z0i▼
(2) wordt
- -- = ljw i + r i = (r + jwl) i▼
noem
g = r(g + jwc)(r + jwl), de voortplantingscoefficient ▼
Z0 = \/ ------- = \/ --------------, de karakteristieke impedantie
en
 
▲ v=Z0i
▲ - -- = ljw i + r i = (r + jwl) i.
dan volgt:
- -- = -g v
We noemen
 
▲ g:<math>\,\gamma = r\sqrt{(g + jwcj\omega c)(r + jwlj\omega l),}</math> de voortplantingscoefficient
en
:<math>\,Z_0 = \sqrt{\frac{r + j\omega l}{g + j\omega c}}=
- -- = -g u
\sqrt{\frac{(r + j\omega l)(g - j\omega c)}{g^2+\omega^2c^2}} </math> , de karakteristieke impedantie.
of anders:
 
Voor het gemak drukken we alle grootheden uit in de karakteristieke impedantie.
Zo voeren we in:
 
:<math>\, v=Z_0i</math>
 
dan krijgen de vergelijkingen de eenvoudige vorm
 
:<math> \frac{\partial u}{\partial x} = -\gamma v\,</math>
en
:<math> \frac{\partial v}{\partial x} = - \gamma u\,</math>
 
 
- --- = - g2u, etc
met als oplossingen:
 
:<math>\,u(x) = Ae^{-\gamma x} + Be^{+\gamma x}</math> Be
en
:<math>\,v(x) = Ae^{-\gamma x} - Be^{+\gamma x}</math>.
 
We bepalen A en B aan de hand van de randvoorwaarden:
 
u0:<math>\,u_0 = u(0) = A + B</math>
 
en
 
u(L)/v(L) = zL = ZL/Z0
:<math>\,u(L)/v(L) = z_L = \frac{Z_L}{Z_0}</math>,
 
waaruit:
:<math>\,Ae^{-\gamma L} + Be^{+\gamma L} = zLz_L(Ae^{-\gamma L} - Be^{+\gamma L})</math>
dus
:<math>\,Ae^{-\gamma L}(zLz_L-1) = Be^{+\gamma L}(zLz_L+1)</math>
 
ook:
:<math>\,A = \frac A =12 (u0u_0 + v0v_0)</2math>
en
:<math>\,B = \frac B =12 (u0u_0 - v0v_0)</2math>
 
zodat
:<math>\,u(x) = 2(u0u_0+v0v_0)e^{-\gamma x} + 2(u0u_0-v0v_0)e^{-\gamma x} = u0coshu_0\cosh(gx\gamma x) - v0sinhv_0\sinh(gx\gamma x)</math>
en
:<math>\,v(x) = 2(u0u_0+v0v_0)e^{-\gamma x} - 2(u0u_0-v0v_0)e^{+j\gamma x} = -u0sinhu_0\sinh(gx\gamma x) + v0coshv_0\cosh(gx\gamma x)</math
 
�
We onderscheiden de heengaande golf
 
:<math>\,u^+(x) = u_0e^{-j\gamma x}</math>
u+(x) = u0e met u0 = 2(u0+v0)
met
:<math>u_0 = 2(u_0+v_0)</math>
 
en de gereflecteerde golf
 
:<math> \,u^-(x) = u_0e^{+j\gamma x}</math>
u-(x) = u0e met u0 = 2(u0-v0)
met
:<math>\,u_0 = 2(u_0-v_0)</math>.
 
We stellen
:<math> \,\gamma = \alfa + j\beta b</math>,
g = a + jb,
 
dan zien we dat u^+ verloopt volgens e = e , dus uitdempend volgens
e en met faseverloop e .▼
 
Analoog u-▼
:<math>\,e^{-\gamma x} = e^{-\alfa x -j\beta x}</math>,
dus uitdempend volgens
 
:<math>\,e^{-\alfa x} </math>
 
▲e en met faseverloop e .
 
:<math>\,e ^{-j\beta x} </math>.
 
▲Analoog u^-
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.