Discrete Kansrekening/Basisbegrippen/Kans: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 2:
In 1933 legde de Russische wiskundige A. N. Kolmogorov (1903-1987) in zijn boekje "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" de basis voor de moderne kansrekening. Hierdoor kwamen de in de vorige paragrafen genoemde beperkingen te vervallen. Bij deze aanpak is een willekeurige (niet-lege) verzameling als uitkomstenruimte toegestaan. Zo is bv. de verzameling van alle reële getallen toegestaan, waardoor het o.a. mogelijk is dat er oneindig veel verschillende gebeurtenissen zijn. Voor de elementaire gebeurtenissen is niet meer vereist dat ze alle "gelijkelijk mogelijk" zijn. Kolmogorov poneerde drie axioma's waaraan een kans moet voldoen. Deze drie axioma's zijn het analogon van de eigenschappen 1.2.1.a - c uit paragraaf 2, waaraan het frequentiequotiënt zowel als de kans volgens Laplace voldoet.
'''Definitie 1.3.1''' ('''axioma's van Kolmogorov''')<br>
Zij S een willekeurige uitkomstenruimte. Een functie P die aan elke gebeurtenis A ⊂ S een reëel getal P(A) toevoegt, noemen we een '''kans''' op S, als P voldoet aan de volgende eisen:
Regel 21:
'''Definitie 1.3.2'''<br>
Zij S een willekeurige (discrete) uitkomstenruimte. Een functie <math>p: S
:<math>p(s) \ge 0 </math>
Regel 40:
'''Stelling 1.3.2'''<br>
Als P een kans is op de uitkomstenruimte S, dan is de functie <math>\,p: S \to \R </math> gedefinieerd door:
:<math>\,p(s) = P(\{s\}) </math>
Regel 65 ⟶ 61:
'''Voorbeeld 2''' (zuivere dobbelsteen; vervolg)<br>
De uitkomstenruimte is S = {1,2,3,4,5,6}. Voor een zuivere dobbelsteen is de kans op elke uitkomst gelijk, dus p(1) = p(2) = ... = p(6) = 1/6. De bijbehorende kans P is gedefinieerd volgens Laplace, dus is bv. P(E) = 3/6 voor de gebeurtenis E = {2,4,6} (we gooien een even ogenaantal) en P(D) = 2/6 voor D = {1,2} (we gooien minder dan 3). In tabel ziet de kansruimte er als volgt uit:
s │ 1 2 3 4 5 6 │ totaal
Regel 73 ⟶ 69:
'''Voorbeeld 3''' (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)<br>
De uitkomstenruimte is S = {(i,j)|i=1,2,...,6 en j=1,2,...,6} en voor een zuivere dobbelsteen zijn alle 36 uitkomsten even waarschijnlijk, dus is p(s) = 1/36 voor alle s &
| |||