Verzamelingen/Specialisaties in de theorie van verzamelingen

Specialisaties in de theorie van verzamelingen

Wiskunde is een enorm uitgebreid vakgebied. Daarom specialiseren wiskundigen zich meestal op een van de deelterreinen van de wiskunde. Een van de deelterreinen is de verzamelingentheorie. Natuurlijk is het niet mogelijk om als wiskundige alleen van bijvoorbeeld Algebra kennis te hebben, en topologie, analyse, categorientheorie en andere takken van de wiskunde compleet te laten liggen. Elke wiskundige zal een brede basis moeten hebben, omdat in vrijwel alle takken van de wiskunde van het instrumentarium gebruik kan worden gemaakt.

Dit boek is geschreven in november 2022. De verzamelingenleer is ongeveer anderhalve eeuw oud. De kennis van verzamelingen is in die anderhalve eeuw enorm gegroeid en neemt nog steeds toe. Dit hoofdstuk geeft een korte en onvolledige opsomming van de verschillende takken van de theorie van verzamelingen. Omdat niet alle takken een gevestigde Nederlandse naam hebben, gebruiken we hier in de kopjes de gebruikelijke Engelse naam.

Wat we hierboven zeiden over specialisaties binnen de wiskunde, geldt nog meer voor de set theorists, de theoretici die zich specialiseren in en onderzoek doen in het veld van de verzamelingen.

Combinatorial set theory

In de wiskunde is infinitaire combinatoriek (infinitary combinatorics), of combinatorische verzamelingenleer (Combinatorial set theory), een uitbreiding van ideeën uit de combinatoriek naar oneindige verzamelingen. Sommige dingen die bestudeerd worden zijn continue grafieken en bomen, uitbreidingen van de stelling van Ramsey en het axioma van Martin. Recente ontwikkelingen betreffen combinatoriek van het continuüm[1] en combinatoriek van opvolgers van singuliere kardinalen.

Beschrijvende verzamelingenleer

De beschrijvende verzamelingenleer is het deelgebied dat zich bezighoudt met 'nette' deelverzamelingen van 'nette' topologische ruimten.

Door de opname van het Keuzeaxioma in ons aaxiomastelsel ZFC kunnen we verzamelingen construeren met heel ongewone eigenschappen.

Vage verzamelingen of Fuzzy set theory

Vage verzamelingen zijn verzamelingen, waarvan de elementen graden van lidmaatschap kennen. Vage verzamelingen zijn door Lotfi A. Zadeh geïntroduceerd (1965) als een uitbreiding van het klassieke begrip van een verzameling.

In de klassieke verzamelingenleer, wordt het lidmaatschap van de elementen in binaire termen beoordeeld volgens een bivalentie principe - een element behoort of wel of niet tot een verzameling. Maar de werkelijkheid om ons heen is niet altijd zo zwart/wit.

Enkele voorbeelden:

• Een stip ligt binnen of buiten een cirkel. Maar wat als de cirkel op de rand ligt?
• Een file bestaat uit een serie auto's die langzaam rijden of stilstaan, en dat dicht op elkaar. Maar wat is precies langzaam rijden? Bij welke snelheid is daar sprake van? En aan de kop en de staart van de file, waar de afstanden geleidelijk groter worden, hoe graat mag de mafstand zijn zodat de auto nog als onderdeel van de file beschouwd wordt?
• Een bos bestaat uit bomen en struiken. Die staan bij elkaar. Maar moeten de takken elkaar raken? Zo nee, hoeveel afstand mag er tussen zitten? En als aan de rand van het bos de afstand tussen de bomen geleidelijk groter wordt, welke bomen horen dan wel of niet bij het bos?

Om met dit soort vage, geleidelijke overgangen te kunnen werken, staat de vage verzamelingentheorie een geleidelijke evaluatie toe van het lidmaatschap van elementen in een verzameling; dit wordt beschreven met behulp van een lidmaatschapfunctie, die wordt gewaardeerd op het reële w:eenheidsinterval [0, 1]. Vage verzamelingen veralgemenen de klassieke verzamelingen, aangezien de w:indicatorfuncties van de klassieke verzamelingen speciale gevallen zijn van de lidmaatschapfuncties van de vage verzamelingen, indien deze laatste alleen de waarden 0 of 1 kunnen aannemen. Klassiek bivalente verzamelingen worden in de vage verzamelingentheorie gewoonlijk scherpe (Engels:"crisp") verzamelingen genoemd.

Inner model theory

In de verzamelingenleer is de binnenmodel theorie of Inner model theory de studie van bepaalde modellen van ZFC of een fragment of versterking daarvan. Gewoonlijk zijn deze modellen transitieve deelverzamelingen of deelklassen van het von Neumann universum V, of soms van een generieke uitbreiding van V. De binnenmodel theorie bestudeert de relaties van deze modellen met determinatie, grote kardinalen en de beschrijvende verzamelingenleer. Ondanks de naam wordt het meer beschouwd als een tak van de verzamelingenleer dan van de modeltheorie.

Order theory

In hoofdstuk 5 maakten we kennis met ordeningen op een verzameling. Ze vormt samen met algebra de basis voor lattice theory (tralie theorie).

Wiskunde specialisaties

Alle takken van de wiskunde zijn in principe gebaseerd op de theorie van verzamelingen, of kunnen daarop gebaseerd worden. Maar voor sommige takken van de wiskunde geldt dat sterker dan voor anderen.