Basiskennis chemie 2/Logaritme


Exponenten en machten

In Basiskennis chemie is aan de orde geweest hoe je met machten moet optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. In dit hoofdstuk zullen we stil staan bij machtsverheffen en exponenten.

Machtsverheffen

Voorbeelden

  • Voorbeeld 1
        
    Verg. 1

Machtsverheffen wil zeggen, vermenigvuldigen met zichzelf, dus de derde macht uitwerken geeft:
    
Verg. 2
 
maar dat geldt ook voor de tweede macht. Uitwerken geeft nu:
    
Verg. 3
 
In vergelijking 3 hebben de haakjes alleen nog de functie van aangeven welke factoren bij elkaar horen. Voor het resultaat hebben ze geen betekenis. De haakjes kunnen dus ook weggelaten worden.
    
Verg. 4
 
Maar dit is een hele serie tweeën, die allemaal met elkaar moeten worden vermenigvuldigd. Dat kan veel korter genoteerd worden:
    
Verg. 5
 
  • Voorbeeld 2
        
    Verg. 6


    
Verg. 7
 

    
Verg. 8
 

    
Verg. 9
 
Vergelijking 9 kan eenvoudiger geschreven worden als:
    
Verg. 10
 
De vergelijkingen 3 en 8 laten duidelijk zien hoe de regel voor machtsverheffen met exponten werkt:
Bij machtsverheffen met een exponent, wordt de exponent vermenigvuldigd met de macht.

Regel

Bovenstaande regel geldt ook bij negatieve exponenten:
    
Verg. 11

Negatieve exponent

Wat ook geschreven kan worden als:
    
Verg. 12
 
Bij het vermenigvuldigen van breuken moet je de tellers (boven de streep) met elkaar menigvuldigen voor de nieuwe teller. De noemers (onder de streep) vermenigvuldig je om de nieuwe noemer te krijgen. In vergelijking 12 betekent dat:
    
Verg. 13
 
Dat laatste kan uiteraard eenvoudiger genoteerd worden:
    
Verg. 13
 
Ook als het minteken bij de macht staat, en de oorspronkelijke exponent positief is, werkt de regel. 

Worteltrekken met exponenten

Zoals de tegenovergestelde bewerking van optellen aftrekken, is hoort bij vermenigvuldigen het uitvoeren van een deling. Bij machtsverheffen hoort op deze manier worteltrekken. Bij worteltrekken moet je het getal uitrekenen dat met zichzelf vermenigvudigd het uitgangsgetal oplevert.

Zo is de wortel van 9 gelijk aan 3, want 3 * 3 = 9 en is de wortel van 121 gelijk aan 11, want 112 = 121.

Voor het uitrekenen van de wortel van een getal wordt de term worteltrekken gebruikt. En je trekt de wortel uit een getal: in de wiskunde wordt dit vaak gezegd als: "de wortel uit 25 is 5".

In wiskundige notatie ziet het er als volgt uit:
    
Verg. 14

Worteltrekken

Net als bij exponenten het aantal keren dat een getal met zichzelf vermenigvuldigd kan worden groter is dan 2, kunnen we dat ook bij worteltrekken toepassen. Zo kun je het getal uitreken dat 3 keer met zichzelf vermenigvuldigd 27 oplevert:
    
Verg. 15

derdemachts wortel

Je ziet dat het aantal keren dat het getal met zichzelf vermenigvuldigd moet worden in het wortelteken genoteerd wordt. Als onderscheid tussen deze wortel en de "gewone" wortel wordt gezegd: "de derdemachtswortel uit 27 is 3". En dit is uiteraard niet tot 2 of drie beperkt. Je kunt op dezelfde manier denken over de vijfdemachts wortel of de honderdste machts wortel.

Hogere machten

Om verwarring te voorkomen wordt de gewone wortel, zeker als we het hebben over de wortels met verschillende machten, soms aangeduid met tweedemachts wortel of vierkantswortel. Ook in de wiskundige notatie wordt dat aangegeven: de macht, 2 dus, wordt in het wortelteken weergegeven:
    
Verg. 16

Tweedemachts wortel
Vierkantswortel

Exponenten

Om te zien hoe worteltrekken met exponenten werkt, eerst een voorbeeld:
Trek de derdemachts wortel uit of .
kunnen we schrijven als:
    
Verg. 17

stap 1

Om het getal te vinden dat drie keer met zichzelf vermenigvuldigd 64 oplevert, maken we van de factoren 3 groepjes. Er zijn 6 factoren, dus kunnen we drie groepjes maken:
    
Verg. 18

Stap 2

Voor elk van de groepjes geldt dat als je ze drie keer met zichzelf vermenigvuldigd, het antwoord 64 is. Elk groepje factoren is dus een derdemachtswortel uit 64. Je kan dus schrijven:
    
Verg. 19

Stap 3

De regel is dus blijkbaar: Bij delen met exponenten deel je de exponent door de macht van de wortel.

Regel

Gevolgen van de regel

Net als bij de #regel bij delen met exponenten heeft deze regel ook gevolgen als de exponent en de macht van de wortel niet een net heel getal opleveren. Als voorbeeld de vierkants- of gewone wortel uit 2. Als we 2 met een exponent schrijven vinden we 21, en dus voor de wortel:
    
Verg. 20

Gebroken exponent

Wat we bij "2 een halve keer met zichzelf vermenigvuldigen", wat toch de oorspronkelijke betekenis is van de exponent, moeten voorstellen is niet echt belangrijk. Belangrijker is de vraag: "Past dit in het geheel van de regels die we al hebben?" We kunnen hiervoor kijken naar de regels voor #vermenigvuldigen, #delen en #machtsverheffen.

Werkt wel

Bij vermenigvuldigen mogen we de exponenten optellen (als de grondtallen gelijk zijn). De eenvoudigste vermenigvuldiging is die waar je de uitkomst al van weet: de wortel is het getal dat met zichzelf vermenigvuldigd, het uigangsgetal oplevert:
    
Verg. 21

Vermenigvuldigen

Bij delen geldt dezelfde redenering: gebruik een breuk waarvan je de uitkomst al weet:
    
Verg. 22

Delen

Los van de vraag welk getal er bij hoort: je deelt een getal door zichzelf, en daar komt altijd "1" uit. 
Bij machtsverheffen mag je de exponent vermenigvuldigen met de macht:
    
Verg. 23

Machtsverheffen

maar ook:
    
Verg. 24
 

Logaritme

Rond 1600 is dit idee verder uitgewerkt door de Schotse wiskundige Napier. Hij bedacht het volgende:
Als ik van alle getallen de exponent weet bij een zelfde grondtal, dan kan ik vermenigvuldigen door die exponenten bij elkaar op te telen en dan te kijken welke echt getal hoort bij die som van exponenten. Voor delen kan ik de exponenten aftrekken, en ook machtsverheffen of worteltrekken wordt zo eenvoudig mogelijk.

Als exponenten op deze manier gebruikt worden, heten ze logaritme. Omdat het grondtal uiteraard belangrijk is voor de uitkomst, wordt dit aangegeven bij de logaritmefunctie. Helaas zijn er twee verschillende manieren in gebruik:

  • 2log(8) = 3.0 want 23 = 8.
    Het grondtal staat in superscript voor de aanduiding van de logfunctie.
  • log2(8) = 3.0 want 23 = 8. (ook dan)
    Het grondtal staat in subscript tussen de aanduiding van de logfunctie en het getal waarvan de logaritme genomen moet worden.

Logaritme
John Napier.jpg

Tabel 1: Meer voorbeelden met 2 als grondtal

'
Getal2log(getal)Getal2log(getal)Getal2log(getal)Getal2log(getal)
0.0625-410.083.01287.0
0.125-30.5164.02568.0
0.25-221.0325.05129.0
0.5-142.0646.0102410.0

2log(x)

  • De vermenigvuldiging wordt dan de exponent van 4 plus de exponent van 8. Dat wordt dus: . Kijk je vervolgens welk getal bij de exponent 5 hoort dan vind je 32.

Vermenigvuldigen

  • De deling wordt , waar 0.0625 als uitkomst bijhoort.
  • Delen

    De vierde macht van vier wordt: De logaritme van 4 opzoeken (= 2), met 4 vermenigvuldigen ( en daar weer het goede getal bij zoeken (= 256).

    Machtsverheffen

    De derdemachtswortel van 512 wordt: zoek de logaritme van 512 op (= 9), deel door 3 (= 9/3 = 3) en zoek het getal daar bij: 8.

    Worteltrekken

    De vierkantswortel van 0.0625 is 0.25, want en daar hoort 0.25 als antwoord bij. 

    Logaritme met 10 als grondtal

    Als voorbeeld hoe het werkt zijn logaritmes met 2 als grondtal bruikbaar. De getallen waarmee je werkt zijn niet al te groot. Veel vaker, dus ook in het laboratorium, wordt gewerkt met logaritmes met 10 als grondtal. De vraag is dan alleen: hoe vindt je de (bijvoorbeeld) de exponent van 10 die 2 oplevert, of 10log(2) = ?. Voor het vinden van het antwoord op die vraag is de regel die hoort bij worteltrekken heel belangrijk geweest.

    10log(2)=?

    In tabel 1 is te zien dat 210 net iets meer dan 1000 is.
         is iets meer dan
    'Verg. 25

    Eerste benadering

    Trek je uit 210 de tiendemachts wortel, dan krijg je uiteraard weer 2 terug (want 2 tien keer met zichzelf vermenigvuldigd is 210). Trekken we vervolgens uit 1000 (een getal dat iets kleiner is dan 210) de tiendemachts wortel, dan vinden we een getal dat ook iets kleiner zal zijn . Dat kan niet anders betekenen dan:
         is iets meer is dan
    '

    210

    Nauwkeurig rekenen met deze waarde voor de logaritme van 2 is natuurlijk niet mogelijk. Er zijn veel te weinig cijfers bekent, en hoeveel is dat "iets meer dan"? Door in plaats van 210 uit te rekenen, kun je ook 2100 uitrekenen. Je vindt dan een getal dat iets groter is dan 1030. Trek je hier de 100e machts wortel uit, dan vindt je 100.30. Je kunt dit ook nog verder berekenen door 21000 of 210000 uit te berekenen en de daarbij horende wortel te trekken. Voor de meeste toepassingen in de wetenschap, en dus ook in het laboratorium, levert dat een waarde op die nauwkeurig genoeg is. Op basis van 210000 is de logaritme van 2 berekend als 0.3040 .

    log(2)

    Uiteraard kun je nu ook voor 3 een dergelijke rekenklus uitvoeren, en voor 4, 5 ...... . Gelukkig is dat niet nodig. Je kunt gebruik maken van de rekenregels voor rekenen met machten.

    andere getallen

    Tabel 2: Meer voorbeelden met 10 als grondtal

    Getal10log(getal) Getal10log(getal) Getal10log(getal)
    0.0001-4.0000   10.0000   1002.0000
    0.001-3.0000   20.3040   10003.0000
    0.01-2.0000 0.5000 100004.0000
    0.1-1.0000 101.0000 1000005.0000

    10log(x)

    Toepassen van de rekenregels

    Zo is 4 gelijk aan dus

    10log(4)

    20 is gelijk aan dus voor 10log(20) geldt:

    10log(20)

    Ook 10log(5) is nu te berekenen, want , zodat

    10log(5)

    Voor de wiskundige uit de tijd van de eerder genoemde Napier bleef de taak om van getallen als 3, 7, 11, 13 (de priemgetallen) de logaritme uit te rekenen. Hoewel dit een lastige klus is die veel nauwkeurigheid vereist, is de winst vervolgens enorm. Op allerlei terreinen van wetenschap en techniek worden berekeningen nu een stuk eenvoudiger. Tien getallen met elkaar vermenigvuldigen is op papier een lastige klus. Van tien getallen de logaritme opzoeken, deze onder elkaar noteren en optellen is veel eenvoudiger. Berekeningen voor de navigatie op zee werden veel sneller en het uitrekenen waar aan de hemel de planeet Neptunis te vinden moest zijn, zou een vrijwel on mogelijke opgave geweest zijn. Na de berekeningen door Adams en Le Verrier in 1843 konden Galle en d'Arrest de planeet in 1846 op 1° afstand van de berekende positie vinden.

    Toepassingen

    Omdat de logaritme met 10 als grondtal ontzettend veel gebruikt wordt, en andere grondtallen heel weinig, wordt de aanduiding van het grondtal heel vaak weggelaten:

    log(2)

    pH en pOH

    In de paragraaf pH van het hoofdstuk over Zuren is in vergelijking 1 de relatie tussen en pH aan de orde geweest. Ook is de pOH en het waterevenwicht besproken. Dat heeft de volgende formules opgeleverd:
        
    Verg. 26
     

        
    Verg. 27
     

        
    Verg. 28
     
    In combinatie met de rekenregels voor logatitmes is vooral vergelijking 28 interessant. Als er links en rechts van het gelijkteken iets van gelijke waarde staat, blift dat waar als we links en rechts hetzelfde doen. We gaan links en rechts de logaritme trekken:
        
    Verg. 30

    logvorm

    De logaritme is de macht die je moet nemen om het getal te krijgen waarvan je de logaritme moet weten. Rechts is dat dus "-14".

    Aan de linkerkant van het gelijkteken staat een vermenigvuldiging. Bij vermenigvuldigen moet je de logaritmes van de getallen die je moet vermenigvuldigen bij elkaar optellen.

    Samen geeft dat dus:
        
    Verg. 30

    vermenigvuldigen naar optellen

    Er blijft gelden dat als je links en rechts van een gelijkteken hetzelfde doet, de gelijkheid waar blijft. Vergelijking 30 wordt links en rechts met (-1) vermenigvuldigd
        
    Verg. 31

    • (-1)

    Uitgewerkt geeft dit
        
    Verg. 31
     
    Maar in vergelijking 26 is aangegeven dat voor pH geschreven mag worden en voor mag volgens vergelijking 27 geschreven worden: pOH. Vergelijking 30 kan dus ook geschreven worden als:
        
    Verg. 31

    Regel

    Deze laatste regel maakt meteen duidelijk waarom er eigenlijk nauwelijks met de pOH gewerkt wordt. Als je de pH weet is het eenvoudig de pOH te bepalen. Dat betekent dat er maar met één grootheid gewerkt hoeft te worden. Een tweede voordeel is dat schrijffouten en twijfel over "staat de 'O' er nu wel of niet?" niet mogelijk zijn. Er wordt alleen met de pH gewerkt. Heb je voor een berekening de pOH nodig, dan is die snel genoeg uitgerekend.

    pH en pOH

    Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
    Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.