Basiskennis chemie 2/Logaritme
Logaritme
Rond 1600 is het idee om te kunnen vermenigvuldigen door op te tellen, of te delen door af te trekken, verder uitgewerkt door de Schotse wiskundige Napier. Hij bedacht het volgende:
Als ik van alle getallen de exponent weet bij een zelfde grondtal, dan kan ik: * vermenigvuldigen door die exponenten bij elkaar op te tellen en dan te kijken welke echt getal hoort bij die som van exponenten. * Voor delen kan ik de exponenten aftrekken en dan te kijken welke echt getal hoort bij dat verschil van exponenten. * Voor machtsverheffen kan ik de exponent vermenigvuldigen * Voor worteltrekken kan ik de exponent delen.
Als exponenten op deze manier gebruikt worden, heten ze logaritme. Omdat het grondtal uiteraard belangrijk is voor de uitkomst, wordt dit aangegeven bij de logaritmefunctie. Helaas zijn er twee verschillende manieren in gebruik:
- 2log(8) = 3.0 want 23 = 8.
Het grondtal staat in superscript voor de aanduiding van de logfunctie. - log2(8) = 3.0 want 23 = 8. (ook dan)
Het grondtal staat in subscript tussen de aanduiding van de logfunctie en het getal waarvan de logaritme genomen moet worden.
Tabel 1: Meer voorbeelden met 2 als grondtal
Getal | 2log(getal) | Getal | 2log(getal) | Getal | 2log(getal) | Getal | 2log(getal) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0.0625 | -4 | 1 | 0.0 | 8 | 3.0 | 128 | 7.0 |
0.125 | -3 | 0.5 | 16 | 4.0 | 256 | 8.0 | |
0.25 | -2 | 2 | 1.0 | 32 | 5.0 | 512 | 9.0 |
0.5 | -1 | 4 | 2.0 | 64 | 6.0 | 1024 | 10.0 |
- De vermenigvuldiging wordt dan de exponent van 4 plus de exponent van 8. Dat wordt dus: . Kijk je vervolgens welk getal bij de exponent 5 hoort dan vind je 32.
- De deling wordt , waar 0.0625 als uitkomst bijhoort.
Logaritme met 10 als grondtal
10log(4)
Bij 5 kun je bedenken dat de logaritme van 10 één moet zijn (101 = 10) en 5 = 10/2. Dus:
- .
Bij geldt dat de logaritme daarvan, omdat het over de 2e machtswortel van 2 gaat:
- moet zijn.
Toepassen van de rekenregels
Zo is 16 gelijk aan dus Op deze manier is de logaritme alle machten van 2 te bepalen, maar ook van getallen als 1,6 of 0,16:
- .
en
- .
Tabel 2: Meer voorbeelden met 10 als grondtal
Getal | 10log(getal) | Getal | 10log(getal) | Getal | 10log(getal) | Getal | 10log(getal) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0.0001 | -4.0000 | 1 | 0.0000 | 100 | 2.0000 | ||
0.001 | -3.0000 | 2 | 0.3040 | 1000 | 3.0000 | ||
0.01 | -2.0000 | 0.5000 | 10000 | 4.0000 | |||
0.1 | -1.0000 | 5 | 0,6960 | 10 | 1.0000 | 100000 | 5.0000 |
Toepassingen van logaritme
Voor de wiskundige uit de tijd van de eerder genoemde Napier bleef de taak om van getallen als 3, 7, 11, 13 (de priemgetallen) de logaritme uit te rekenen. Als je de logaritme van 2 én van 3 weet, is de logaritme van 6 een kwestie van optellen. Hoewel het bepalen van de logaritmes van de priemgetallen een lastige klus was die veel nauwkeurigheid vereiste, is de winst vervolgens enorm.
Op allerlei terreinen van wetenschap en techniek worden berekeningen nu een stuk eenvoudiger. Tien getallen met elkaar vermenigvuldigen is op papier een lastige klus. Van tien getallen de logaritme opzoeken, deze onder elkaar noteren en optellen is veel eenvoudiger.
Berekeningen voor de navigatie op zee werden veel sneller en het uitrekenen waar aan de hemel de planeet Neptunus in 1846 te vinden moest zijn, zou een vrijwel onmogelijke opgave geweest zijn zonder gebruik te maken van logaritmes. Nu gebruik je daarvoor een rekenmachine, maar die zijn voor dit soort berekeningen pas ontwikkeld rond 1950 en pas rond 1970 algemeen beschikbaar gekomen. Na de berekeningen door Adams en Le Verrier in 1843 konden Galle en d'Arrest de planeet in 1846 op 1° afstand van de berekende positie vinden.Hedendaags gebruik van logaritmes
Het oorspronkelijke gebruik van logaritmes, berekeningen makkelijker laten verlopen, is door de huidige rekenmachines vrijwel vergeten. Toch kom je ze nog regelmatig verstopt tegen. Vooral om grootheden te beschrijven die meerdere ordes van grootte kunnen hebben is dit het geval.
- Rekenliniaal
- Als voorloper van de rekenmachine speelde de op logarimtes gebaseerde rekenliniaal een belangrijke rol in de technische en wetenschappelijke ontwikkeling in de periode van 1610 tot 1970.
- Rekenmachines
- In rekenmachines worden getallen met een komma gehanteerd met behulp van logaritmes. Daardoor worden vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken met een acceptabele snelheid uitgevoerd.
- Aardbevingen
- De bij aardbevingen gebruikte schaal van Richter is een logaritmische schaal. Is de sterkte een eenheid groter dan is de kracht van de beving 10 keer zo groot.
- Decibel
- De sterkte van geluid wordt gemeten in decibel (dB). Hierbij geldt dat een verhoging van 10 dB de geluidsdruk met een factor 10 laat stijgen. Doordat de schaal logaritmisch is, betekent de volgende toename van 10 dB weer een toename met een factor 10. Een toename van 20 db betekent dus een toename in geluidsdruk van 10 keer 10, ofwel 100!
- Zuursterkte
- In de scheikunde wordt zuursterkte van een oplossing aangegeven in pH. Van de concentratie waterstof-ionen in een oplossing wordt de negatieve logaritme genomen en als pH doorgegeven. De negatieve waarde is het gevolg van het feit dat de concentratie meestal (veel) kleiner is dan 1, waardoor bijna altijd negatieve waarden voor de logaritme gevonden worden.