Mechanica van materialen/Wet van Hooke

De wet van Hooke zegt dat de uitrekking van een materiaal recht evenredig is met de (normaal)kracht welke op de veer wordt uitgeoefend. Deze wet werd door Robert Hooke empirisch vastgesteld bij veren.

In formulevorm: $\sigma =E\epsilon$

hier is E de proportionaliteitsconstante. E is ongeveer constant bij alle materialen (zelfs indien ze gelegeerd zijn), en wordt de elasticiteitsmodulus genoemd.

In deze cursus werken we met homogene materialen, zodat de eigenschappen in alle punten gelijk zijn. Dit wil niet noodzakelijk zeggen dat de eigenschappen in alle richtingen gelijk zijn. Materialen die hieraan voldoen (bijv. metalen) zijn isotroop. Materialen waar de eigenschappen verschillen per richting, zoals hout, zijn anisotroop.

Vullen we de wet in in de gegeven vergelijking, dan komt er:

$\sigma =E\epsilon \rightarrow \epsilon ={\frac {\sigma }{E}}$

$\Delta =\int _{0}^{L}{\frac {\sigma }{E}}dx=\int _{0}^{L}{\frac {P}{AE}}dx$

Of

$\Delta ={\frac {PL}{AE}}$

Rek haaks op aangebrachte spanning

We hebben gezien dat de rek evenwijdig aan een aangebrachte spanning beschreven wordt door de wet van Hooke. Bij proeven constateert men verder dat wanneer men aan een materiaal in een bepaalde richting trekt, het materiaal stuikt in de richtingen loodrecht op de aangebrachte richting.

Deze dwarsrek is in vele materialen lineair verbonden met de langsrek. De verhouding van de dwarsrek op de langsrek is de Poisson-factor ν (Poisson ratio, of factor van Poisson):

$\nu =\left|{\frac {\mbox{dwarsrek}}{\mbox{langsrek}}}\right|=-{\frac {\epsilon _{dwars}}{\epsilon _{langs}}}$

De grootte van de dwarsrek is dan: $\epsilon _{dwars}=-\nu .\epsilon _{langs}=-\nu .{\frac {\sigma }{E}}$.

Let op het minteken, wanneer het materiaal in de langsrichting wordt samengedrukt, dan rekt het in dwarsrichting uit, en omgekeerd.

Theoretisch is de waarde van de poissonfactor begrensd: $-1<\nu <{\frac {1}{2}}$; in de praktijk is het onwaarschijnlijk (hoewel niet onmogelijk [1], [2]) dat een materiaal dat onder druk wordt gezet dwars krimpt: praktisch geldt dat $0<\nu <{\frac {1}{2}}$

Enkele materialen en hun Poisson-factor

Bij metalen is de modulus ongeveer ${\frac {1}{3}}$ (het volume bij trekspanning blijft dus niet constant: het materiaal zet uit). Bij een ν van 0,5 is de compressiemodulus (zie verder) oneindig, welke kracht ook op het materiaal aangebracht wordt, het volume blijft constant, dus is de kracht nodig om het volume te veranderen "oneindig".

materiaal	poisson factor
aluminiumlegering	0,33
gietijzer	0,21-0,26
glas	0,24
klei	0,30-0,45
kurk	ca. 0,00
rubber	0,50
staal	0,27-0,30

Veralgemeende wet van Hooke

Tot hiertoe hebben we drie materiaalconstanten gezien die het gedrag van een materiaal op een aangebracht spanning beschrijven: E, G en ν.

Wordt met materiaal tegelijkertijd door normaalspanningen in allerlei richtingen belast, dan is de rek in een bepaalde richting een resultaat van alle aangebrachte normaalspanningen. Beschouwen we een een kubus die met drie normaalspanningen, volgens de x-, y- en z-as, belast wordt met normaalspanningen σ_x, σ_y en σ_z, dan kunnen de rekken in de x-, y- en z-richting, ε_x, ε_y en ε_z, als volgt berekend worden:

ε_x = σ_x/E − νσ_y/E − νσ_z/E

ε_y = −νσ_x/E + σ_y/E − νσ_z/E

ε_z = −νσ_x/E − νσ_y/E + σ_z/E

Glijdingen in een richting zijn een gevolg enkel van schuifspanningen aangebracht in die richting:

γ_xy = τ_xy/G

γ_yz = τ_yz/G

γ_zx = τ_zx/G

Deze eenvoudige formules gelden enkel voor isotrope materialen, materialen waarvan de eigenschappen in alle richtingen gelijk zijn.