|
== Riemann-sommen ==
[[Afbeelding:Riemannsom_x²_n=5.PNG|right|thumb|300px|<math>f(x)=x^2</math> op het interval <math>[0,3]</math> onderverdeeld in 5 rechthoeken.]]
Om de oppervlakte onder de grafiek van een continue functie ''f(x)'' op het interval [a,b] te benaderen, kunnenverdelen we gebruikhet makeninterval vanin rechthoeken,''n'' waarvanstukjes demet middensbreedte steeds<math>\Delta juistx</math> open bepalen de grafiekoopervlakte vallen.van Dede breedterechthoeken vanboven zo'ndeze rechthoekstukjes, noemenwaarvan wede <math>\Delta"middens x</math>juist enop de grafiek vallen". De hoogte van de ''nk''-de rechthoek wordt dan gegeven door <math>h = f(\tfrac{1}{2}\Delta x + n \cdot(k-1) \Delta x )</math>, zodat de oppervlakte van deze rechthoek gelijk is aan:
:<math>O_nO_k = f(\tfrac{1}{2}\Delta x + n \cdot(k-1) \Delta x ) \cdot \Delta x.</math>.
Verdelen we deDe oppervlakte onder ''fO'' inonder ''k''de evengrafiek brede rechthoeken,wordt dan kunnen we de oppervlakte onder de grafiek benaderenbenaderd door:
:<math>O \approx \sum_{nk=01}^{k-1}O_nn O_k = \sum_{nk=01}^{k-1}fnf(\tfrac{1}{2}\Delta x + n \cdot (k-1)\Delta x ) \cdot \Delta x</math>
Het spreekt voor zich dat een grotere ''n'', en dus een kleinere <math>\Delta x</math> een nauwkeurigernauwkeurigere benadering oplevert.
=== Voorbeeld ===
We willen de oppervlakte van de figuur die wordt ingesloten doortussen de grafiek van <math>f(x)=x^2</math>, en de x-as enbenaderen deop lijnhet x=interval (0,3). benaderenWe kiezen <math>n=30</math>, dus <math>\Delta x=\tfrac{1}{10}</math>. De hoogte van de ''k''-de rechthoek is dan
&:<math>f(\tfrac =12 \ sum_{n=0}^{30Delta x + (k-1 })\Delta x) = f(\tfrac{1}{2} \cdot\tfrac{1}{10} + n \cdot (k-1)\tfrac{1}{10} ) = (\ cdottfrac{1}{20} + (k-1)\tfrac{1}{10} \\)^2.</math>▼
De benadering voor de oppervlakte van de figuur wordt dan: ▼We kiezen een kleine <math>\Delta x</math>, bijvoorbeeld <math>\Delta x=\tfrac{1}{10}</math>. We kunnen de figuur nu opdelen in 30 rechthoekjes met breedte <math>\Delta x</math>.
:<math>O \approx \sum_{k=1}^{30} f(\tfrac{1}{2}\Delta x + (k-1)\Delta x) \Delta x = \sum_{k=1}^{30} (\tfrac{1}{20} + (k-1) \tfrac{1}{10})^2 \tfrac{1}{10}\approx 9{,}9975.</math>
▲De benadering voor de oppervlakte van de figuur wordt dan:
Vergelijk dit met de werkelijke waarde 9.
:<math>\begin{align}
O & \approx \sum_{n=0}^{30-1} f(\tfrac{1}{2}\Delta x + n \cdot \Delta x ) \cdot \Delta x \\
▲ & = \sum_{n=0}^{30-1} f(\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{10} + n \cdot \tfrac{1}{10} ) \cdot \tfrac{1}{10} \\
& = \sum_{n=0}^{30-1} (\tfrac{1}{20} + n \cdot \tfrac{1}{10})^2 \cdot \tfrac{1}{10} \\
& \approx 9,9975
\end{align}</math>
Wanneer we de figuur in 300 rechthoekjes, dus wanneer wemet <math>\Delta x = \tfrac{1}{100}</math> gebruiken, krijgen we een betere benadering, namelijk <math>O \approx 9</math>.
== Integralen ==
| 