Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies

Geen bewerkingssamenvatting
waarin <math>\xi</math> en <math>\eta</math> weer de coördinaten zijn van respectievelijk <math>x</math> en <math>y</math> ten opzichte van deze basis.
 
<!--
{{Wis bewijs| We bewijzen dit door inductie op <math>\textstyle n</math>.
 
'''Initialisatiestap''': controleer voorVoor <math>\textstyle n=1</math>: Elke <math>\textstyle 1\times1</math> -matrix is een diagonaal matrix dus klop de stelling zekerdiagonaalmatrix.
 
'''Inductiestap''': stelStel dat de stelling klopt voor alle vectorruimtes t.e.m. dimensie <math>\textstyle n-1</math>. Bewijs de stellinguitspraak nujuist vooris. Voor een vectorruimte van dimensie <math>\textstyle n</math>. Ergeldt dan: er zijn twee gevallen mogelijk: ofwel geldt <math>\textstyle \forall v,w\in V:\langleB( v,w\rangle )= 0</math>, dan klopklopt de stelling, ofwel bestaan er <math>\textstyle v,w\in V</math> waarvoor <math>\textstyle \langle B(v,w) \rangleneq \neq00</math>. Uit de polaire formule volgt dan datDan <math>\textstyle \exists v_1 \in V:p(v_1)\neq 0\Rightarrow\langle B(v_1,v_1\rangle)\neq0</math>. Construeer nu de verzameling
want
:<math>p(x)=B(x,x) \Leftrightarrow B(x,y)=\tfrac 12 (p(x+y)-p(x)-p(y))</math>
dus
<math>p(v+w)\neq p(v)+p(w)</math>
 
Construeer nu de verzameling
:<math> V_1=\{x\in V|\langle x,v_1\rangle = 0\} </math>
 
:<math> V_1=\{x\in V|\langle B(x,v_1\rangle) = 0\} </math>
 
We zien dat <math>\textstyle V_1</math> een deelruimte van <math>\textstyle V</math> is, dat <math>\textstyle v_1\notin V_1</math> dus is <math>\textstyle \dim V_1 < \dim V = n</math> en tenslotte zien we ook dat <math>\textstyle \left.\langle , \rangle\right|_{V_1\times V_1}:V_1\times V_1\to F</math> een symmetrische bilineaire vorm is.
&=0 \end{align}</math>
 
Dus is <math>\textstyle x_1\in V_1</math>. Aangezien <math>\textstyle x=x_1+\frac{\langle x,v_1\rangle}{\langle v_1,v_1\rangle}v_1=x_1+kv_1</math> kan <math>\textstyle x</math> geconstrueerd worden uit een lineaire combinatie van de vectoren <math>\textstyle \{v_1,v_2,\ldots,v_k\}</math> en is die verzameling dus voortbrengend. We besluiten dus dat <math>\textstyle k=n</math> en dat <math>\textstyle \{v_1,v_2,\ldots,v_n\}</math> een basis is. }}
 
Dit heeft als gevolg dat we in een veld waar <math>\textstyle 2\neq0</math> elke kwadratische vorm kunnen schrijven als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten na het aanpassen van het assenstelsel.
-->
 
===Voorbeeld===
 
2.413

bewerkingen

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.