Lineaire algebra/Bilineaire vorm: verschil tussen versies

{{Wis bewijs| We bewijzen dit door inductie op <math>\textstyle n</math>.

'''Initialisatiestap''': controleer voorVoor <math>\textstyle n=1</math>: Elke <math>\textstyle 1\times1</math> -matrix is een diagonaal matrix dus klop de stelling zekerdiagonaalmatrix.

'''Inductiestap''': stelStel dat de stelling klopt voor alle vectorruimtes t.e.m. dimensie <math>\textstyle n-1</math>. Bewijs de stellinguitspraak nujuist vooris. Voor een vectorruimte van dimensie <math>\textstyle n</math>. Ergeldt dan: er zijn twee gevallen mogelijk: ofwel geldt <math>\textstyle \forall v,w\in V:\langleB( v,w\rangle )= 0</math>, dan klopklopt de stelling, ofwel bestaan er <math>\textstyle v,w\in V</math> waarvoor <math>\textstyle \langle B(v,w) \rangleneq \neq00</math>. Uit de polaire formule volgt dan datDan <math>\textstyle \exists v_1 \in V:p(v_1)\neq 0\Rightarrow\langle B(v_1,v_1\rangle)\neq0</math>. Construeer nu de verzameling

Dus is <math>\textstyle x_1\in V_1</math>. Aangezien <math>\textstyle x=x_1+\frac{\langle x,v_1\rangle}{\langle v_1,v_1\rangle}v_1=x_1+kv_1</math> kan <math>\textstyle x</math> geconstrueerd worden uit een lineaire combinatie van de vectoren <math>\textstyle \{v_1,v_2,\ldots,v_k\}</math> en is die verzameling dus voortbrengend. We besluiten dus dat <math>\textstyle k=n</math> en dat <math>\textstyle \{v_1,v_2,\ldots,v_n\}</math> een basis is. }}