Lineaire algebra/Bilineaire vorm

Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Bilineaire vorm
  21. Kwadratische vorm
  22. Tensor

Naast eenvormen zijn er ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekent dat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.

Definitie 20.1Bewerken

Zij   een vectorruimte over het lichaam  . Een bilineaire vorm op   is een afbeelding   die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor   en   geldt:

 

en

 


Een bilineaire vorm die aan de paren   en   dezelfde waarde toevoegt, heet symmetrisch.

Definitie 20.2Bewerken

Een bilineaire vorm   op   heet symmetrisch als voor alle   geldt:

 

MatrixvoorstellingBewerken

Het ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als   een basis is van  , kunnen we de vectoren   en   in deze basis uitdrukken:

  en  

Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding   van   en   vinden we dan:

 

Daarin is   de  -matrix met elementen   die t.o.v. de gekozen basis hoort bij  .

Wat we hier gevonden hebben formuleren we in de volgende stelling.

Stelling 20.1Bewerken

Bij iedere lineaire vorm   op een lineaire ruimte   van dimensie   bestaat na keuze van een basis een  -matrix  , zodanig dat de lineaire vorm voorgesteld kan worden door:

 

met   en   de coördinaten van resp.   en   t.o.v. de gekozen basis.


Geven we de coördinatisering t.o.v. de basis aan met  , dan is:

  en  

en

 

Stelling 20.2Bewerken

De matrix   die bij een symmetrische bilineaire vorm   op   hoort, is symmetrisch.

BewijsBewerken

Zij   de betrokken basis; dan geldt:

 


DiagonaalvormBewerken

Als we een basis kunnen vinden ten opzichte waarvan de matrix van een bilineaire vorm diagonaal is, kan de bilineaire eenvoudig weergegeven worden.

Stelling 20.3Bewerken

Zij   een  -dimensionale vectorruimte over het lichaam   met karakteristiek ongelijk aan 2, en   een symmetrische bilineaire vorm op  . Dan is er een basis   van   zodat voor alle   geldt:

 

Ten opzichte van deze basis is de matrix   van   dus diagonaal en wordt   bepaald door:

 ,

waarin   en   weer de coördinaten zijn van respectievelijk   en   ten opzichte van deze basis.


Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.