Lineaire algebra/Bilineaire vorm
Naast eenvormen zijn er ook meervoudig lineaire afbeeldingen die aan twee of meer vectoren uit een vectorruimte een scalair toevoegen. Meervoudig lineair betekent dat ze in elk van de argumenten lineair zijn. Bij twee vectoren spreken we van bilineaire afbeelding.
Definitie 20.1
bewerkenZij een vectorruimte over het lichaam . Een bilineaire vorm op is een afbeelding die in elk van de twee argumenten lineair is, hetgeen inhoudt dat voor en geldt:
en
Een bilineaire vorm die aan de paren en dezelfde waarde toevoegt, heet symmetrisch.
Definitie 20.2
bewerkenEen bilineaire vorm op heet symmetrisch als voor alle geldt:
Matrixvoorstelling
bewerkenHet ligt voor de hand om na te gaan hoe een bilineaire vorm zich gedraagt bij keuze van een basis. Als een basis is van , kunnen we de vectoren en in deze basis uitdrukken:
- en
Voor het beeld onder de bilineaire afbeelding van en vinden we dan:
Daarin is de -matrix met elementen die t.o.v. de gekozen basis hoort bij .
Wat we hier gevonden hebben formuleren we in de volgende stelling.
Stelling 20.1
bewerkenBij iedere lineaire vorm op een lineaire ruimte van dimensie bestaat na keuze van een basis een -matrix , zodanig dat de lineaire vorm voorgesteld kan worden door:
met en de coördinaten van resp. en t.o.v. de gekozen basis.
Geven we de coördinatisering t.o.v. de basis aan met , dan is:
- en
en
Stelling 20.2
bewerkenDe matrix die bij een symmetrische bilineaire vorm op hoort, is symmetrisch.
Bewijs
bewerkenZij de betrokken basis; dan geldt:
Diagonaalvorm
bewerkenAls we een basis kunnen vinden ten opzichte waarvan de matrix van een bilineaire vorm diagonaal is, kan de bilineaire eenvoudig weergegeven worden.
Stelling 20.3
bewerkenZij een -dimensionale vectorruimte over het lichaam met karakteristiek ongelijk aan 2, en een symmetrische bilineaire vorm op . Dan is er een basis van zodat voor alle geldt:
Ten opzichte van deze basis is de matrix van dus diagonaal en wordt bepaald door:
- ,
waarin en weer de coördinaten zijn van respectievelijk en ten opzichte van deze basis.