Lineaire algebra/Dimensie

Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Bilineaire vorm
  21. Kwadratische vorm
  22. Tensor

De verzameling vectoren van een basis is niet eenduidig bepaald. Als een basis de verschillende vectoren en bevat en we vervangen door , is het nieuwe stelsel ook een basis en verschillend van de oorspronkelijke basis.

Wel kan, weer steunend op een fundamentele veronderstelling over de wiskunde, aangetoond worden dat twee verschillende bases "evenveel" elementen hebben. Voor eindige bases is zo'n fundamentele veronderstelling niet nodig. Wij zullen laten zien dat voor lineaire ruimten met eindige bases het aantal elementen in iedere basis hetzelfde is.

Stelling 6.1Bewerken

Een basis   kan niet een echt deel zijn van een andere basis  .

Bewijs:Bewerken

Stel  .   is een basis, dus   is een lineaire combinatie van elementen van  . Maar omdat   ook een basis is, kan dit alleen als   en de 0 maakt nooit deel uit van een basis. We hebben een tegenspraak, dus  , oftewel  .

Stelling 6.2Bewerken

Het aantal elementen in een eindig volledig stelsel is minstens gelijk aan het aantal elementen in een eindig onafhankelijk stelsel.

Bewijs:Bewerken

Laat   een volledig stelsel zijn en   een onafhankelijk stelsel. Stel  . Omdat   volledig is kunnen we elke   schrijven als een lineaire combinatie van vectoren   uit  . Laat   de eerste vector in de lineaire combinatie   zijn die een coëfficiënt ongelijk 0 heeft. Vervang in     door  . Het nieuwe stelsel blijft volledig. We herhalen nu het voorgaande door de eerste   in   met coëfficiënt ongelijk 0 te vervangen door  . Omdat de  's onafhankelijk zijn, komt de nieuwe   niet in de combinatie voor. Zo kunnen we alle  's vervangen. Het nieuwe volledige stelsel bestaat uit de vectoren  . en bevat niet  . Die kan dus geschreven worden als lineaire combinatie van  , wat in tegenspraak is met de onafhankelijkheid van  . Conclusie:  .


Een direct gevolg van deze stelling is:

Stelling 6.3Bewerken

Twee eindige bases van dezelfde vectorruimte bevatten evenveel elementen.


Zou een vectorruimte een eindige basis kunnen hebben en ook een niet-eindige?

Stelling 6.4Bewerken

Als een vectorruimte   een eindige basis   bezit, is iedere basis eindig.

Bewijs:Bewerken

Noem   het aantal elementen van  . Stel   is een niet-eindige basis van  . Laat   een element van   zijn en vervang dit, net als in de vorige stelling, door een element   van  . Neem   en vervang deze door  , etc. Na   stappen is   echt deel van  , wat niet kan.


Uit het voorgaande zien we dat als een vectorruimte een eindige basis bezit, alle bases eindig zijn en alle evenveel elementen hebben. Dat aantal elementen is dus een karakteristiek getal voor de vectorruimte. We noemen het de dimensie van de vectorruimte. Voor het gemak zeggen we dat de dimensie van een vectorruimte met een niet-eindige basis oneindig is.

Definitie 6.1Bewerken

Het aantal elementen in een eindige basis van een vectorruimt   noemen we de dimensie van  , genoteerd als  . Als een vectorruimte geen eindige basis heeft, zeggen we dat de dimensie oneindig is.


VoorbeeldenBewerken

In de lineaire ruimte   vormen de zgn. eenheidsvectoren  , dus met een 1 op de  -de positie en overigens 0-en, een basis. De dimensie van   is dus  .

De complexe getallen vormen een tweedimensionale vectorruimte over de reële getallen. De complexe getallen 1 en   vormen zoals bekend een basis.

De lineaire ruimte van polynomen met reële coëfficiënten heeft een basis met (aftelbaar) oneindig veel elementen en is dus oneindigdimensionaal.


  Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.