Lineaire algebra/Duale ruimte

De lineaire ruimte van de eenvormen op V is nauw met V verbonden en wordt daarom op een speciale manier aangeduid.

Definitie 16.1

De lineaire ruimte van de eenvormen op V heet de duale ruimte V^* van V.

Voorbeelden

Neem steeds $K=\mathbb {R}$,

• Zij $\ V=\mathbb {R} ^{n}$, dan zijn de projecties $p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{i}$ element van de duale ruimte $(\mathbb {R} ^{n})^{*}$.
• Zij $\!\ V=C[-\pi ,\pi ]$, d.w.z de ruimte van de continue functies op $[-\pi ,\pi ]$, dan is $a_{n}(f)=\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx$ een element van de duale ruimte van $C[-\pi ,\pi ]$.
• Zij $\ V=\mathbb {R} [x]$, d.w.z. de lineaire ruimte van alle veeltermen, dan zijn $ev:\mathbb {R} [x]\to \mathbb {R} :p(x)\mapsto p(5)$ en $D:\mathbb {R} [x]\to \mathbb {R} :p(x)\mapsto p'(\pi )\$ twee verschillende elementen van de duale ruimte van de veeltermen.

Stelling 16.1

Als V de dimensie n heeft, is ook de dimensie van V^* gelijk aan n.

Bewijs

Kies een basis $(v_{1},...,v_{n})\,$ van V en definieer de eenvormen $(v_{1}^{*},...,v_{n}^{*})\,$ door:

$v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}$ dus 1 als i=j en 0 als i en j verschillend zijn

Deze eenvormen vormen een basis van de duale ruimte, want ze zijn onafhankelijk en een willekeurige eenvorm u is een lineaire combinatie van deze eenvormen, immers voor iedere basisvector $v_{i}$ geldt:

$u(v_{i})=u(v_{1})v_{1}^{*}(v_{i})+\ldots +u(v_{n})v_{n}^{*}(v_{i})=\left(u(v_{1})v_{1}^{*}+\ldots +u(v_{n})v_{n}^{*}\right)(v_{i}).$

Voor lineaire combinaties van de $v_{i}$ gelden vergelijkbare uitspraken omdat de onderliggende afbeeldingen lineair zijn.

Voor de eenvorm u geldt daarom dat

$u=u(v_{1})v_{1}^{*}+\ldots +u(v_{n})v_{n}^{*}$

Iedere willekeurige eenvorm u is dus te schrijven als lineaire combinatie van de n eenvormen $v_{i}^{*}$.

De bovengenoemde basis van de duale ruimte die als het ware bij een basis van de oorspronkelijke ruimte hoort speelt een speciale rol en heeft daarom ook een speciale naam.

Definitie 16.2

De basis $(v_{1}^{*},...,v_{n}^{*})\,$ van de duale ruimte V^* die met de basis $(v_{1},...,v_{n})\,$ van V verbonden is door:

$v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}$

heet de duale basis van $(v_{1},...,v_{n})\,$.