Lineaire algebra/Lineaire combinatie
Zoals we gezien hebben zijn de scalaire veelvouden van vectoren en ook de som van vectoren weer vectoren uit dezelfde ruimte. We kunnen dus combinaties maken van de som van veelvouden van vectoren.
Definitie 2.1
bewerkenEen geordend eindig aantal vectoren of een geïndiceerd willekeurig aantal noemen we een stelsel vectoren.
Definitie 2.2.a
bewerkenOnder een lineaire combinatie van een eindig stelsel van m vectoren verstaan we een som van scalaire veelvouden van deze vectoren, dus een vector van de vorm:
Definitie 2.2.b
bewerkenOnder een lineaire combinatie van een willekeurig stelsel vectoren verstaan we een lineaire combinatie van een eindig aantal van deze vectoren.
Voorbeelden
bewerkenIn de driedimensionele euclidische ruimte is de vector (2,5,6) een lineaire combinatie van de vectoren (1,1,0) en (0,1,2), want:
De complexe getallen zijn lineaire combinaties van de complexe getallen 1 en ; immers een complex getal is van de vorm:
De scalaire veelvouden van een vector vormen a.h.w. een deelverzameling van , een soort lijn, die geheel door bepaald wordt. Voegen we nog een vector die geen veelvoud van is toe dan vormen de lineaire combinaties van en een soort vlak door de lijnen die door en door bepaald woren. De "lijnen" en het vlak" zijn zelf ook lineaire ruimte over
Definitie 2.3
bewerkenWe zeggen dat de deelverzameling van die bestaat uit de lineaire combinaties van het stelsel vectoren door dit stelsel wordt voortgebracht of opgespannen.
Een eindig stelsel van ' vectoren brengt dus de deelverzameling
voort.
Voor een willekeurig stelsel geldt dat bij elke vector in de voortgebrachte deelverzameling een eindig aantal vectoren gevonden kan worden waarvan een lineaire combinatie is, dus:
Uit het vorige volgt dat de deelverzameling van een lineaire deelruimte is van .
Voorbeelden
bewerkenIn de driedimensionele euclidische ruimte brengen de vectoren (1,1,0) en (0,1,2) een vlak voort van alle lineaire combinaties van deze twee vectoren.
De complexe getallen worden voortgebracht door de complexe getallen 1 en .
Stelling 2.1
bewerkenDe door een stelsel vectoren voortgebrachte deelverzameling van is een lineaire deelruimte.
Eigenschappen van een voortbrengend deel
bewerkenAls een deelruimte van vectorruimte voortgebracht wordt door een een stelsel vectoren uit , dan blijft onveranderd als men
- aan een vector uit toevoegt.
- uit een vector schrapt welke een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit .
- een vector uit met een van nul verschillende scalair vermenigvuldigt.
- bij een vector uit een andere vector uit optelt.