Lineaire algebra/Lineaire combinatie

Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Bilineaire vorm
  21. Kwadratische vorm
  22. Tensor

Zoals we gezien hebben zijn de scalaire veelvouden van vectoren en ook de som van vectoren weer vectoren uit dezelfde ruimte. We kunnen dus combinaties maken van de som van veelvouden van vectoren.

Definitie 2.1Bewerken

Een geordend eindig aantal vectoren   of een geïndiceerd willekeurig aantal   noemen we een stelsel vectoren.

Definitie 2.2.aBewerken

Onder een lineaire combinatie van een eindig stelsel van m vectoren   verstaan we een som van scalaire veelvouden van deze vectoren, dus een vector van de vorm:

 

Definitie 2.2.bBewerken

Onder een lineaire combinatie van een willekeurig stelsel vectoren verstaan we een lineaire combinatie van een eindig aantal van deze vectoren.

VoorbeeldenBewerken

In de driedimensionele euclidische ruimte is de vector (2,5,6) een lineaire combinatie van de vectoren (1,1,0) en (0,1,2), want:

 

De complexe getallen zijn lineaire combinaties van de complexe getallen 1 en  ; immers een complex getal is van de vorm:

 


De scalaire veelvouden van een vector   vormen a.h.w. een deelverzameling van  , een soort lijn, die geheel door   bepaald wordt. Voegen we nog een vector   die geen veelvoud van   is toe dan vormen de lineaire combinaties van   en   een soort vlak door de lijnen die door   en door   bepaald woren. De "lijnen" en het vlak" zijn zelf ook lineaire ruimte over  

Definitie 2.3Bewerken

We zeggen dat de deelverzameling   van   die bestaat uit de lineaire combinaties van het stelsel vectoren   door dit stelsel wordt voortgebracht of opgespannen.

Een eindig stelsel van  ' vectoren   brengt dus de deelverzameling

 

voort.

Voor een willekeurig stelsel   geldt dat bij elke vector   in de voortgebrachte deelverzameling een eindig aantal vectoren   gevonden kan worden waarvan   een lineaire combinatie is, dus:

 

Uit het vorige volgt dat de deelverzameling   van   een lineaire deelruimte is van  .

VoorbeeldenBewerken

In de driedimensionele euclidische ruimte brengen de vectoren (1,1,0) en (0,1,2) een vlak voort van alle lineaire combinaties van deze twee vectoren.

De complexe getallen worden voortgebracht door de complexe getallen 1 en  .

Stelling 2.1Bewerken

De door een stelsel vectoren voortgebrachte deelverzameling   van   is een lineaire deelruimte.

Eigenschappen van een voortbrengend deelBewerken

Als een deelruimte   van vectorruimte   voortgebracht wordt door een een stelsel vectoren   uit  , dan blijft   onveranderd als men

  • aan   een vector uit   toevoegt.
  • uit   een vector schrapt welke een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit  .
  • een vector uit   met een van nul verschillende scalair vermenigvuldigt.
  • bij een vector uit   een andere vector uit   optelt.


  Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.