Lineaire algebra/Lineair onafhankelijk stelsel

Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Bilineaire vorm
  21. Kwadratische vorm
  22. Tensor

De ruimte die door de vector wordt voortgebracht, is dezelfde als de ruimte die door en een veelvoud van wordt voortgebracht. De toevoeging van dat veelvoud is overbodig, want dat was al element van de deelruimte. We zeggen dat dat veelvoud (lineair) afhankelijk is van . Zo ook met de ruimte die door twee vectoren wordt opgespannen. Die verandert niet als we een vector toevoegen die er al toe behoort. Elke lineaire combinatie van en is lineair afhankelijk van en . Een vector buiten de door en voortgebrachte deelruimte voegt iets nieuws toe, als het tenminste niet de 0 is. Zo'n vector is lineair onafhankelijk van en . Liever zeggen we dat en een lineair onafhankelijk stelsel vormen. Daarin kun je er geen weglaten zonder dat de voortgebrachte deelruimte verandert.

Definitie 3.1.a

bewerken

Het eindige stelsel vectoren   heet lineair onafhankelijk als de 0 alleen als lineaire combinatie met alle coëfficiënten 0 geschreven kan worden, dus als:

 .

Definitie 3.1.b

bewerken

Een willekeurig stelsel vectoren   heet lineair onafhankelijk als elk eindig deelstelsel lineair onafhankelijk is.

Definitie 3.1.c

bewerken

Een stelsel vectoren heet lineair afhankelijk als dit stelsel niet lineair onafhankelijk is.

Voorbeelden

In de driedimensionele euclidische ruimte zijn de de vectoren   en   lineair onafhankelijk, want stel maar dat:

 .

Dan is dus:

 ,

zodat volgt:   en  .

De drie vectoren   en   zijn niet lineair onafhankelijk, want:

 .


Een lineair onafhankelijk stelsel bevat nooit de 0, want we zouden de 0 als lineaire combinatie kunnen vormen met voor de 0 de coëfficiënt 1 en de overige 0.

Stelling 3.1

bewerken

De vectoren in een lineair onafhankelijk stelsel zijn alle ongelijk aan 0.


Laten we uit een lineair onafhankelijk stelsel een vector weg, zeg  , dan zit deze niet meer in de door de rest voortgebrachte deelruimte, want stel maar dat

 

dan is

 .

En omdat   lineair onafhankelijk zijn, moeten alle coëfficiënten gelijk zijn aan 0, maar de coëfficiënt van   is  .

Daarom geldt de volgende stelling.

Stelling 3.2

bewerken

Is een stelsel vectoren lineair afhankelijk, dan is er ten minste een vector die een lineaire combinatie is van de overige.

Voorbeelden

bewerken

De drie vectoren   en   zijn lineair afhankelijk, want er geldt:

 .

We kunnen elk als lineaire combinatie van de andere twee schrijven, bijvoorbeeld:

 .

Ook de drie vectoren   en   zijn lineair afhankelijk, want er geldt:

 .

We kunnen wel   schrijven als een veelvoud van  , maar de vector   is geen lineaire combinatie van   en  .

Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.