Lineaire algebra/Kern

Een lineaire afbeelding $A$ van $V$ in $W$ beeldt natuurlijk de 0 van $V$ af op de 0 van $W$: $A(0)=0$. Verder is het beeld van $V$ onder $A$ weer een lineaire ruimte. Daartoe volstaat immers dat van een vector uit het beeld ook de scalaire veelvouden en met elk tweetal ook hun som in het beeld ligt. Dit is juist de lineariteit van de afbeelding.

Stelling 11.1

Het beeld $A(V)$ van de lineaire ruimte $V$ onder de lineaire afbeelding $A:V\to W$ is een lineaire deelruimte van $W$.

Die beeldruimte wordt voorgebracht door een basis van het origineel, want de lineaire afbeelding behoudt de lineaire combinaties.

Stelling 11.2

Het beeld $A(V)$ van de lineaire ruimte $V$ onder de lineaire afbeelding $A:V\to W$ wordt voortgebracht door de beelden van een basis van $V$.

Bewijs:

Zij $w\in A(V)$ een vector uit het beeld van $V$ onder $A$. Er is dus een $x\in V$, die door $A$ op $w$ wordt afgebeeld: $w=A(x)$. Als $(b_{1},\ldots ,b_{m},\ldots )$ een basis is van $V$, is $x$ een lineaire combinatie daarvan:

$x=\sum _{i}\xi _{i}b_{i}$

Voor $w$ geldt dus:

$w=A(x)=A{\big (}\sum _{i}\xi _{i}b_{i}{\big )}=\sum _{i}\xi _{i}A(b_{i})$,

dus inderdaad een lineaire combinatie van de beeldvectoren $(A(b_{1}),\ldots ,A(b_{m}),\ldots )$.

Het is niet moeilijk in te zien dat de afbeelding die alle vectoren uit $V$ op de 0 afbeeldt lineair is. De beelden van de basisvectoren in een basis zijn dus niet noodzakelijk lineair onafhankelijk. Ze hoeven niet een basis te vormen van het beeld $A(V)$. De rang van de beelden van een basis, die we ook de rang van de afbeelding noemen, hoeft dus niet gelijk te zijn aan de dimensie van het origineel $V$. Er kunnen als het ware dimensies verloren gaan. Waar zijn die dimensies gebleven? Kennelijk zijn er dan behalve de 0 nog andere vectoren op de 0 afgebeeld. De verzameling van die vectoren noemen we de kern of nulruimte van de lineaire afbeelding.

Definitie 11.1

Onder de rang $\mathrm {rang} (A)$ van een lineaire afbeelding $A:V\to W$ van de vectorruimte $V$ in de vectorruimte $W$ verstaan we de rang van de beelden van de basisvectoren van een basis van $V$, dus, als $(b_{1},\ldots ,b_{m},\ldots )$ een basis is van $V$, is:

$\mathrm {rang} (A)=\mathrm {rang} (A(b_{1}),\ldots ,A(b_{m}),\ldots )$

Definitie 11.2

Onder de kern of nulruimte $\ker(A)$ van een lineaire afbeelding $A:V\to W$ van de vectorruimte $V$ in de vectorruimte $W$ verstaan we de verzameling vectoren die door $A$ op de 0 worden afgebeeld, dus

$\ker(A)=\{x\in V|A(x)=0\}$

Het zal gezien het voorgaande niet verbazen dat de eventueel in het beeld ontbrekende dimensies, juist de dimensies van de kern zijn.

Stelling 11.3 (Dimensiestelling)

De rang van de lineaire afbeelding $A:V\to W$ vormt samen met de dimensie van de kern van $A$ de dimensie van $V$, in formule:

$\mathrm {rang} (A)+\dim(\ker(A))=\dim(V)$

Bewijs:

We geven het bewijs alleen voor eindig-dimensionale $V$.

Laat $(u_{1},\ldots ,u_{k})$ een basis van $\ker(A)$ zijn. Vul deze basis aan met $(v_{1},\ldots ,v_{r})$ tot een basis van $V$. Dan is $\dim(V)=k+r$. (NB. De gekozen bases kunnen evetueel leeg zijn.) De beelden van het stelsel $(v_{1},\ldots ,v_{r},)$ vormen nu een basis van het beeld $A(V)$ van $V$. Zij zijn lineair onafhankelijk, want stel maar dat:

$0=\alpha _{1}A(v_{1})+\ldots +\alpha _{r}A(v_{r})$,

dan is:

$0=A(\alpha _{1}v_{1}+\ldots +\alpha _{r}v_{r})$

Dit houdt in dat:

$\alpha _{1}v_{1}+\ldots +\alpha _{r}v_{r}\in \ker(A)$

en dus moeten alle $\alpha$'s 0 zijn.

Het stelsel is ook volledig, want elke $v\in V$ is een lineaire combinatie van de basis $(v_{1},\ldots ,v_{r},u_{1},\ldots ,u_{k})$ en deze wordt afgebeeld op $(0,\ldots ,0,A(v_{1}),\ldots ,A(v_{r}))$.