Lineaire algebra/Tensor

Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Bilineaire vorm
  21. Kwadratische vorm
  22. Tensor

InleidingBewerken

De term Tensor (Latijn: tendere, spannen) werd voor het eerst omstreeks 1840 gebruikt door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton (1805-1865), die daarmee de absolute waarde van een quaternion aanduidde, dus niet een tensor in de huidige betekenis. Tensor in de tegenwoordige betekenis, namelijk als generalisatie van vector en matrix, werd als term ingevoerd door de Duitse natuurkundige Woldemar Voigt (1850-1919) in 1898.

Tensor als tensorproductBewerken

Van twee vectorruimten   en  , beide over hetzelfde lichaam  , vormen we het tensorproduct:

 

door formeel aan elk paar elementen   van een basis   en  , het element

 

toe te wijzen, en deze   elementen op te vatten als basis van  . Een willekeurig element T van dit tensorproduct is dus van de vorm:

 

Voor willekeurige tensors T en S definieren we:

 

en

 

Van twee vectoren   en   uit resp. de vectorruimten   en  , definieren we het tensorproduct   door

 

als (formele) bilineaire afbeelding.

Er geldt dus voor willekeurige vectoren   en   uit  ,   en   uit   en scalair   uit  :

 
 
 

Let wel dat er tussen de tensorproducten   en   in het algemeen geen relatie is, zelfs als V = W, hoewel ze dan wel beide tot dezelfde ruimte behoren. Zijn V en W verschillend dan behoren beide tensorproducten zelfs tot verschillende vectorruimten.

De ruimte van tensorproducten, het tensorproduct   van de ruimten   en  , is de lineaire ruimte voortgebracht door alle tensorproducten.


De bovenstaande voorstelling van een tensor uit het tensorproduct   is niet eenduidig; ze kan op vele manieren gerealiseerd worden.

Omdat   zelf ook een vectorruimte over   is, kunnen we het tensorproduct

 

vormen van een vector   uit de vectorruimte   over   en   uit  .

Het blijkt dat we voor de verdere theorie geen onderscheid hoeven te maken tussen:

  en  ,

zodat we ze gelijkstellen aan de trilineaire vorm:

 

Zo verdergaand kunnen we tensorproducten maken met willekeurig veel factoren:

 .


Een willekeurige tensor kan nu voorgesteld worden als lineaire combinatie van tensorproducten van basisvectoren van de vectorruimten:

 .

Daarin is ei(k) de i-de basisvector van de ruimte  , waaruit de k-de factor van het tensorproduct komt. Het getal   is de dimensie van  .

VoorbeeldBewerken

Zij a en c uit   met basis (e) en b en d uit   met basis (f), en

 
 
 
 

Dan is

 
 
 
 ,

zodat

 

Tensor als multilineaire afbeeldingBewerken

Een tensor   is een multilineaire afbeelding in een lichaam  :

 .

gedefinieerd op het Cartesisch product van de vectorruimten   alle over het lichaam  . Het aantal   van deze ruimten heet de rang van  

Multilineair betekent:

 
 

voor willekeurige indices, vectoren en scalairen.

Een tensor als multilineaire vorm kan geïdentificeerd worden met het tensorproduct, volgens:

 .

Tensor als generalisatie van matrixBewerken

Als praktische toepassing van tensoren is het meestal voldoende een tensor op te vatten als generalisatie van het begrip matrix. We kunnen dan onderscheiden:

  • tensoren van de rang 0: scalairen
  • tensoren van de rang 1: rij- en kolomvectoren
  • tensoren van de rang 2: matrices
  • tensoren van de rang 3: drievoudig geïndiceerde, dus blokvormig geordende, getallen,
  • tensoren van de rang m: m-voudig geïndiceerde getallen,

Een tensor van rang m is een m-voudig geïndiceerde set getallen:

 

Voor het gemak wordt een tensor vaak slechts aangeduid door het algemene element (een reëel of complex getal):

 ,

waarbij het uit de contekst duidelijk is welke waarden de indices doorlopen.

Analoog aan het gedrag van vectoren en matrices onder bepaalde transformaties, worden ook aan tensoren wat dat betreft bepaalde eisen gesteld.

Tensor in de wiskundeBewerken

Om het begrip tensor goed te funderen wordt een tensor in de wiskunde ingevoerd door middel van het tensorproduct van modulen en algebra's.

Tensor in de natuurkundeBewerken

In de natuurkunde komen o.a. tensoren voor als traagheidstensor en spanningstensor. Anders dan veel verbanden gaat het daarbij niet om een evenredigheid, maar om een richtingsafhankelijke evenredigheid. Voor een rotatie geldt bijvoorbeeld als verband tussen het koppel   en de hoekversnelling  :

 .

Daarin is de tensor I het traagheidsmoment van het beschouwde object. Een object dat langs meerdere assen kan draaien heeft in principe voor elke rotatie-as een ander traagheidsmoment. Deze 'traagheidstensor' kan voor bewegingen in drie dimensies geschreven worden als een 3x3-matrix die het traagheidmoment langs alle mogelijke assen aangeeft.

(r,s)-TensorBewerken

Een aparte klasse van tensoren zijn de zogeheten (r,s)-tensoren. Het zijn tensoren van de rang r+s met r factoren uit de duale ruimte   van een vectorruimte   en s factoren uit de ruimte zelf. Het zijn dus elementen van

 

Zo is een scalair een (0,0)-tensor, een vector uit   een (0,1)-tensor, een element van  , een eenvorm, een (1,0)-tensor, een bilineaire vorm op   een (2,0)-tensor en kan een (1,1)-tensor als een endomorfisme van   opgevat worden.

Voor (r,s)-tensoren zijn de volgende drie bewerkingen belangrijk:

  • Door het "vermenigvuldigen" van een  -tensor met een  -tensor ontstaat een  -tensor in de ruimte:
 
  • Door contractie wordt uit een (r,s)-tensor een (r-1,s-1)-tensor gevormd: uit de tensor
 
ontstaat voor een covariante index i en een contravariante index j de tensor
 
  • Als op   een inproduct gegeven is, kunnen   en   met elkaar geïdentificeerd worden, zodat er een verband gelegd kan worden tussen  -tensoren en  -tensoren.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.