Lineaire algebra/Lineaire ruimte

Inhoudsopgave Lineaire algebra
Hoofdstukken
  1. Lineaire ruimte
  2. Lineaire combinatie
  3. Lineair onafhankelijk stelsel
  4. Volledig stelsel
  5. Basis
  6. Dimensie
  7. Rang
  8. Coördinatisering
  9. Coördinatentransformatie
  10. Lineaire afbeelding
  11. Kern
  12. Matrix
  13. Getallenruimte
  14. Kolom- en rijvector
  15. Eenvorm
  16. Duale ruimte
  17. Lineaire algebra/Covariant en contravariant
  18. Transformaties
  19. Inproduct
  20. Bilineaire vorm
  21. Kwadratische vorm
  22. Tensor

Een lineaire ruimte of vectorruimte is een verzameling met een structuur, een lineaire structuur. We kunnen de elementen bij elkaar optellen en we kunnen veelvouden van de elementen maken, d.w.z. een element vermenigvuldigen met een "getal" uit het lichaam van "getallen". Een "getal", een element uit het lichaam zullen we in het vervolg een scalair noemen.

Definitie 1.1

bewerken

Een lineaire ruimte of vectorruimte over een lichaam   is een drietal  , bestaande uit een verzameling   met daarop gedefinieerd een optelling   en een afbeelding  , scalaire vermenigvuldiging geheten, die voldoen aan de volgende voorwaarden, die inhouden dat we op gewone wijze in V kunnen optellen en met scalairen veelvouden kunnen rekenen.

We noteren op de gebruikelijke wijze   voor  , en   of alleen   voor  

Er geldt:

  1. Voor alle   is   en   (commutativiteit optelling).
  2. Voor alle   is   (associativiteit optelling).
  3. Er is een element  , waarvoor   voor alle  .
  4. Voor alle   is er een  , waarvoor  .
  5. Voor alle   en   is  .
  6. Voor alle   is  .
  7. Voor alle   en   is  .
  8. Voor alle   en   is  .
  9. Voor alle   en   is  .


Als gevolg van deze eigenschappen kunnen we a.h.w. gewoon rekenen met vectoren. De belangrijkste regels waarvan we meestal gedachteloos gebruik maken, kunnen we het best eerst algemeen aantonen.

Stelling 1.1

bewerken

Er is maar één  .

Bewijs

Stel ook   is een 'nul', d.w.z. dat voor alle   geldt:  . Dan is dus  .

Stelling 1.2

bewerken

Voor alle   en   geldt: als  , dan is  .

Bewijs
 .

Stelling 1.3

bewerken

Er is maar één tegengestelde.

Bewijs

Stel  , dan is  , dus m.b.v. stelling 1.2 volgt:  .

Stelling 1.4

bewerken

Voor alle   en   geldt: als   en  , dan is  .

Bewijs
 , dus m.b.v. stelling 1.2 volgt:  .

Stelling 1.5

bewerken

Voor alle   is  .

Bewijs
 , dus m.b.v. stelling 1.4 volgt:  .

Stelling 1.6

bewerken

Voor alle   is  .

Bewijs
 , dus m.b.v. stelling 1.4 volgt:  .

Stelling 1.7

bewerken

Voor alle   is  .

Bewijs
  dus  .

Stelling 1.8

bewerken

Voor alle   en   geldt: als  , dan is   of  .

Bewijs

Stel  , dan:

 .

Stelling 1.9

bewerken

Voor alle   geldt: als  , dan is  .

Bewijs
 

dus

 , waaruit het gestelde volgt.

Stelling 1.10

bewerken

Voor alle   geldt: als  , dan is  .

Bewijs
 .


Notatie

bewerken

Omdat het nooit tot verwarring leidt, zullen we het element   van   gewoon als   schrijven. Verder schrijven we   voor  .

Voorbeelden

bewerken
Voorbeeld 1

We bekijken de punten in het platte vlak, dus  . De voor de hand liggende optelling en scalaire vermenigvuldiging met reële getallen voldoen aan:

 
 
 
 

Daarmee is   een lineaire ruimte over  .

Op analoge wijze is   een lineaire ruimte over  .

Voorbeeld 2

Neem voor   de reële getallen en  , bestaande uit de nulveelterm samen met de verzameling van alle veeltermen in   met een graad niet groter dan drie en met reële coëfficiënten. De optelling en scalaire vermenigvuldiging voldoen aan alle voorwaarden.   is een lineaire ruimte over  .

Voorbeeld 3

Noem   de verzameling van reële continue functies op het interval (0,1) en definieer op de gebruikelijke manier de optelling en scalaire vermenenigvuldiging:

 
 

Dan is   een lineaire ruimte over  .


Soms is een deel van een lineaire ruimte zelf ook een lineaire ruimte over hetzelfde lichaam, zoals alle scalaire veelvouden van een vector. We spreken dan van een lineaire deelruimte.

Definitie 1.2

bewerken

Een lineaire deelruimte   van een lineaire ruimte   over een lichaam   is een deelverzameling van   die een lineaire ruimte is over hetzelfde lichaam  .


Hoe kunnen we zien dat een deelverzameling   van een vectorruimte   een deelruimte is? Omdat de vectoren in een deel van een vectorruimte   al de belangrijkste eigenschappen hebben, is het voldoende om aan te tonen dat met elke vector ook de scalaire veelvouden daarvan in   zitten en met elk tweetal ook hun som. Deze eisen garanderen juist dat lineaire combinaties van vectoren in  , ook in   liggen. De stelling geven we daarom zonder bewijs.

Stelling 1.11

bewerken

Een deelverzameling   van een lineaire ruimte   is een lineaire deelruimte als:

  voor alle  

en

 .

Stelling 1.12

bewerken

De doorsnede van twee lineaire deelruimten   en   van een lineaire ruimte   is ook een lineaire deelruimte van  .

Bewijs

De doorsnede is niet leeg daar   en   beide de nulvector bevatten.

 , dan   en  

Dus is voor alle  

  en  ,

dus ook

 

Ook is voor alle  

  en  ,

zodat

  en  

dus

 
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.