Lineaire algebra/Lineaire ruimte

Een lineaire ruimte of vectorruimte is een verzameling met een structuur, een lineaire structuur. We kunnen de elementen bij elkaar optellen en we kunnen veelvouden van de elementen maken, d.w.z. een element vermenigvuldigen met een "getal" uit het lichaam van "getallen". Een "getal", een element uit het lichaam zullen we in het vervolg een scalair noemen.

Definitie 1.1

Een lineaire ruimte of vectorruimte over een lichaam $K$ is een drietal $(V,+,\cdot )$, bestaande uit een verzameling $V$ met daarop gedefinieerd een optelling $+:\,V\times V\to V$ en een afbeelding $\cdot :\,K\times V\to V$, scalaire vermenigvuldiging geheten, die voldoen aan de volgende voorwaarden, die inhouden dat we op gewone wijze in V kunnen optellen en met scalairen veelvouden kunnen rekenen.

We noteren op de gebruikelijke wijze $x+y$ voor $+(x,y)$, en $\alpha \cdot x$ of alleen $\alpha x$ voor $\,\cdot \,(\alpha ,x).$

Er geldt:

1. Voor alle $x,y\in V$ is $x+y\in V$ en $x+y=y+x$ (commutativiteit optelling).
2. Voor alle $x,y,z\in V$ is $(x+y)+z=x+(y+z)$ (associativiteit optelling).
3. Er is een element $\mathbf {0} \in V$, waarvoor $x+\mathbf {0} =x$ voor alle $x\in V$.
4. Voor alle $x\in V$ is er een $-x\in V$, waarvoor $x+(-x)=\mathbf {0}$.
5. Voor alle $\alpha \in K$ en $x\in V$ is $\alpha x\in V$.
6. Voor alle $x\in V$ is $1\,x=x$.
7. Voor alle $\alpha \in K$ en $x,y\in V$ is $\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$.
8. Voor alle $\alpha ,\beta \in K$ en $x\in V$ is $(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$.
9. Voor alle $\alpha ,\beta \in K$ en $x\in V$ is $\alpha (\beta x)=(\alpha x\beta )x$.

Als gevolg van deze eigenschappen kunnen we a.h.w. gewoon rekenen met vectoren. De belangrijkste regels waarvan we meestal gedachteloos gebruik maken, kunnen we het best eerst algemeen aantonen.

Stelling 1.1

Er is maar één $\mathbf {0}$.

Bewijs

Stel ook $0'$ is een 'nul', d.w.z. dat voor alle $x$ geldt: $x+0'=x$. Dan is dus $\mathbf {0} =\mathbf {0} +0'=0'+\mathbf {0} =0'$.

Stelling 1.2

Voor alle $x,y$ en $z$ geldt: als $x+y=x+z$, dan is $y=z$.

Bewijs

$y=\mathbf {0} +y=-x+x+y=-x+x+z=\mathbf {0} +z=z$.

Stelling 1.3

Er is maar één tegengestelde.

Bewijs

Stel $x+y=\mathbf {0}$, dan is $x+y=x+(-x)$, dus m.b.v. stelling 1.2 volgt: $y=-x$.

Stelling 1.4

Voor alle $x$ en $y$ geldt: als $x=x+y$ en $z$, dan is $y=\mathbf {0}$.

Bewijs

$x+\mathbf {0} =x=x+y$, dus m.b.v. stelling 1.2 volgt: $y=\mathbf {0}$.

Stelling 1.5

Voor alle $x$ is $0x=\mathbf {0}$.

Bewijs

$0x=(0+0)x=0x+0x$, dus m.b.v. stelling 1.4 volgt: $0x=\mathbf {0}$.

Stelling 1.6

Voor alle $\alpha$ is $\alpha \mathbf {0} =\mathbf {0}$.

Bewijs

$\alpha \mathbf {0} =\alpha (\mathbf {0} +\mathbf {0} )=\alpha \mathbf {0} +\alpha \mathbf {0}$, dus m.b.v. stelling 1.4 volgt: $\alpha \mathbf {0} =\mathbf {0}$.

Stelling 1.7

Voor alle $x$ is $(-1)x=-x$.

Bewijs

$(-1)x+x=(-1)x+1\,x=(-1+1)x=0x=\mathbf {0}$ dus $(-1)x=-x$.

Stelling 1.8

Voor alle $x$ en $\alpha$ geldt: als $\alpha x=\mathbf {0}$, dan is $\alpha =0$ of $x=\mathbf {0}$.

Bewijs

Stel $\alpha \neq 0$, dan:

$x=1\,x=\alpha ^{-1}\alpha x=\alpha ^{-1}\mathbf {0} =\mathbf {0}$.

Stelling 1.9

Voor alle $x\neq \mathbf {0}$ geldt: als $\alpha x=\beta x$, dan is $\alpha =\beta$.

Bewijs

$(\alpha -\beta )x=\alpha x+(-\beta )x=\alpha x+(-\beta x)=\alpha x+(-(\beta x))=\alpha x+(-\alpha x)=\mathbf {0}$

dus

$\alpha -\beta =0$, waaruit het gestelde volgt.

Stelling 1.10

Voor alle $\alpha \neq 0$ geldt: als $\alpha x=\alpha y$, dan is $x=y$.

Bewijs

$x=\alpha ^{-1}\alpha x=\alpha ^{-1}\alpha y=y$.

Notatie

Omdat het nooit tot verwarring leidt, zullen we het element $\mathbf {0}$ van $V$ gewoon als $0$ schrijven. Verder schrijven we $x-y$ voor $x+(-y)$.

Voorbeelden

Voorbeeld 1

We bekijken de punten in het platte vlak, dus $V=\mathbb {R} ^{2}$. De voor de hand liggende optelling en scalaire vermenigvuldiging met reële getallen voldoen aan:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

$0=(0,0)$

$-(a,b)=(-a,-b)$

$a\cdot (b,c)=(ab,ac)$

Daarmee is $\mathbb {R} ^{2}$ een lineaire ruimte over $\mathbb {R}$.

Op analoge wijze is $\mathbb {R} ^{n}$ een lineaire ruimte over $\mathbb {R}$.

Voorbeeld 2

Neem voor $K$ de reële getallen en $V=V_{3}[x]$, bestaande uit de nulveelterm samen met de verzameling van alle veeltermen in $x$ met een graad niet groter dan drie en met reële coëfficiënten. De optelling en scalaire vermenigvuldiging voldoen aan alle voorwaarden. $V_{3}[x]$ is een lineaire ruimte over $\mathbb {R}$.

Voorbeeld 3

Noem $C$ de verzameling van reële continue functies op het interval (0,1) en definieer op de gebruikelijke manier de optelling en scalaire vermenenigvuldiging:

$(f+g):x\mapsto f(x)+g(x)$

$\alpha f:x\mapsto \alpha f(x)$

Dan is $C$ een lineaire ruimte over $\mathbb {R}$.

Soms is een deel van een lineaire ruimte zelf ook een lineaire ruimte over hetzelfde lichaam, zoals alle scalaire veelvouden van een vector. We spreken dan van een lineaire deelruimte.

Definitie 1.2

Een lineaire deelruimte $D$ van een lineaire ruimte $V$ over een lichaam $K$ is een deelverzameling van $V$ die een lineaire ruimte is over hetzelfde lichaam $K$.

Hoe kunnen we zien dat een deelverzameling $D$ van een vectorruimte $V$ een deelruimte is? Omdat de vectoren in een deel van een vectorruimte $V$ al de belangrijkste eigenschappen hebben, is het voldoende om aan te tonen dat met elke vector ook de scalaire veelvouden daarvan in $D$ zitten en met elk tweetal ook hun som. Deze eisen garanderen juist dat lineaire combinaties van vectoren in $D$, ook in $D$ liggen. De stelling geven we daarom zonder bewijs.

Stelling 1.11

Een deelverzameling $D$ van een lineaire ruimte $V$ is een lineaire deelruimte als:

$x\in D\Rightarrow \alpha x\in D$ voor alle $\alpha \in K$

en

$x,y\in D\Rightarrow x+y\in D$.

Stelling 1.12

De doorsnede van twee lineaire deelruimten $M$ en $N$ van een lineaire ruimte $V$ is ook een lineaire deelruimte van $V$.

Bewijs

De doorsnede is niet leeg daar $M$ en $N$ beide de nulvector bevatten.

$x\in M\cap N$, dan $x\in M$ en $x\in N$

Dus is voor alle $\alpha \in K$

$\alpha x\in M$ en $\alpha x\in N$,

dus ook

$\alpha x\in M\cap N$

Ook is voor alle $x,y\in M\cap N$

$x,y\in M$ en $x,y\in N$,

zodat

$x+y\in M$ en $x+y\in N$

dus

$x+y\in M\cap N$