Lineaire algebra/Coördinatisering

In een eerdere stelling hebben we aangetoond dat elke vector op precies één manier te schrijven is als lineaire combinatie van de vectoren uit een basis. De coëfficiënten van die combinatie leggen dus samen met de vectoren in de basis de vector vast. We noemen die coëfficiënten de coördinaten van de vector ten opzichte van de basis. Voor een $n$-dimensionale vectorruimte $V$ over $K$ met basis $(b_{1},\ldots ,b_{n})$ vormen de coördinaten $\xi _{1}\ldots ,\xi _{n}$ van de vector $x=\xi _{1}b_{1}+\ldots +\xi _{n}b_{n}$ een vector $(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ in de lineaire ruimte $K^{n}$.

Definitie 8.1

Zij $V$ een vectorruimte met dimensie $n$ over het lichaam $K$ en $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ een basis van $V$. Als voor $x\in V$ geldt:

$x=\xi _{1}b_{1}+\ldots +\xi _{n}b_{n}=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}b_{i}$,

heten de getallen $\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}$ de coördinaten van $x$ t.o.v. de basis $B$.

Zoals boven al opgemerkt vormen de coördinaten een vector in de ruimte van de getallenrijtjes. De afbeelding die aan een vector z'n coördinaten t.o.v. een basis $B$ toevoegt, noemen we een coördinatisering.

Definitie 8.2

Zij $V$ een vectorruimte met dimensie $n$ over het lichaam $K$ en $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ een basis van $V$. De afbeelding:

$\kappa _{B}:V\to K^{n}$,

gedefinieerd door:

$\kappa _{B}(\xi _{1}b_{1}+\ldots +\xi _{n}b_{n})=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$,

heet coördinatisering t.o.v. de basis $B$.

Een coördinatisering beeldt een $n$-dimensionale vectorruimte $V$ over $K$ af op de ruimte $K^{n}$. Daarbij worden de basisvectoren uit de basis $B$ afgebeeld op de zgn. eenheidsvectoren, die een basis vormen van $K^{n}$. Alles wat de structuur van $V$ betreft, kunnen we bestuderen in $K^{n}$.