Sterkteleer/Formularium

Spanningen - vervormingen - inwendige energie

Spanningen op een willekeurig vlak

(link)

${\vec {t}}=T_{s}.{\vec {n}}$

waarbij:

• ${\vec {t}}$  : De spanningsvector op een vlak met willekeurige oriëntatie.
• ${\vec {n}}$  : De eenheidsvector loodrecht op ditzelfde vlak.
• $T_{s}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}$  : De spanningstensor.

Algemeen stelsel van 15 differentiaalvergelijkingen in 15 onbekenden (spanningen, vervormingen en verplaatsingen)

Evenwichtsvergelijkingen in functie van spanning

(link)

${\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+X=0$

${\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+Y=0$

${\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+Z=0$

Randvoorwaarden in randpunten bij de evenwichtsvergelijkingen in functie van spanning

${\overline {X}}=n_{x}.\sigma _{x}+n_{y}.\tau _{yx}+n_{z}.\tau _{zx}$

${\overline {Y}}=n_{x}.\tau _{xy}+n_{y}.\sigma _{y}+n_{z}.\tau _{zy}$

${\overline {Z}}=n_{x}.\tau _{xz}+n_{y}.\tau _{yz}+n_{z}.\sigma _{z}$

Geometrische Betrekkingen

(link)

$\varepsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}$

$\varepsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}$

$\varepsilon _{z}={\frac {\partial w}{\partial z}}$

$\gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}$

$\gamma _{yz}={\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}$

$\gamma _{zx}={\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}$

Wet van Hooke

(link)
Enkel voor isotrope materialen:

$\varepsilon _{x}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})]$

$\varepsilon _{y}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{z}+\sigma _{x})]$

$\varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})]$

$\gamma _{xy}={\frac {\tau _{xy}}{G}}$

$\gamma _{yz}={\frac {\tau _{yz}}{G}}$

$\gamma _{zx}={\frac {\tau _{zx}}{G}}$

Glijdingsmodulus

(link)

$G={\frac {E}{2(1+\nu )}}$

Kubische volumeverandering

(link)

$\,e={\frac {\Delta V}{V}}=\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z}$

kubische volumeverandering bij alzijdige constante trek/druk

(link)

$\,e={\frac {3\sigma }{E}}(1-2\nu )$

Vervormingsenergie per volumeëenheid (Inwendige potentiële energie)

(link)

in functie van spanningen

$U={\frac {1}{2E}}(\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2})-{\frac {\nu }{E}}(\sigma _{x}.\sigma _{y}+\sigma _{y}.\sigma _{z}+\sigma _{z}.\sigma _{x})+{\frac {1}{2G}}(\tau _{xy}^{2}+\tau _{yz}^{2}+\tau _{zx}^{2})$

in functie van spanningen en vervormingen

$U={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}.\varepsilon _{x}+\sigma _{y}.\varepsilon _{y}+\sigma _{z}.\varepsilon _{z}+\tau _{xy}.\gamma _{xy}+\tau _{yz}.\gamma _{yz}+\tau _{zx}.\gamma _{zx})$

Axiale trek en druk

Algemene uitdrukkingen

(link)

spanning

$\sigma _{x}={\frac {N}{A(x)}}\!$

rek

$\varepsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}={\frac {N}{E.A(x)}}$

$\varepsilon _{y}=\varepsilon _{z}=-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}=-\nu {\frac {N}{E.A(x)}}$

verlenging

• algemene formule (link):

$\delta =\int _{0}^{L}\varepsilon _{x}dx=\int _{0}^{L}{\frac {\sigma _{x}}{E}}dx=\int _{0}^{L}{\frac {N(x)}{EA(x)}}dx$

• constante normaalkracht en constante dwarsdoorsnede:

$\delta ={\frac {PL}{EA}}$

• toepassing: kegelvormige balk (link)

$\delta ={\frac {4PL}{E\pi D_{1}D_{2}}}$

• toepassing: met inrekening eigengewicht (link)

$\delta ={\frac {PL}{EA}}+{\frac {\rho gL^{2}}{2E}}={\frac {PL}{EA}}+{\frac {GL}{2EA}}$

$L_{\text{max}}={\frac {A\cdot {\overline {\sigma }}-P}{\rho gA}}$

Lichaam met gelijke sterkte op trek of druk

(link)

doorsnede

$A=A_{0}\cdot e^{\frac {\rho gx}{\sigma }}$

verlenging

$\delta ={\frac {\sigma L}{E}}$

Eenvoudige hyperstatische gevallen

• Niet homogene dwarsdoorsnede (link)

$X_{i}={\frac {E_{i}\cdot A_{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(E_{i}\cdot A_{i})}}\cdot P$

• Temperatuurspanningen (link)

$\sigma =-E\cdot \alpha \cdot \Delta T$

• Temperatuurspanningen bij niet-homogene dwarsdoorsnede: (link)

$X={\frac {(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cdot \Delta T}{{\frac {1}{E_{1}A_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}A_{2}}}}}$

Dunwandige cilindrische stukken

(link)

spanning - ketelformule

$\sigma ={\frac {q\cdot r}{e}}$

verlenging

$\delta _{o}={\frac {2\pi qr^{2}}{Ee}}$

spanning bij draaiende ring

$\sigma =\rho \omega ^{2}r^{2}\!$

Inwendige vervormingsenergie bij axiale trek of druk

(link)

• Vervormingsenergie per volume

$U={\frac {\sigma ^{2}}{2E}}={\frac {E\varepsilon ^{2}}{2}}$

• Totale vervormingsenergie

$A_{v}=\int _{L}\left[\int _{A}\left({\frac {N(x)}{A}}\right)^{2}{\frac {1}{2E}}dA\right]dx$

• Totale vervormingsenergie bij constante normaalkracht en dwarsdoorsnede

$A_{v}={\frac {N^{2}\cdot L}{2EA}}$

• Resiliëntie

$U_{\mbox{max}}={\frac {R_{e}^{2}}{2E}}$