Sterkteleer/Evenwichtsvergelijkingen - Inwendige en uitwendige Krachten

Evenwichtsvergelijkingen

Vectoriële evenwichtsvergelijking

Hoewel de sterkteleer tot doel heeft om het verloop van spanningen en vervormingen in een structuur te berekenen, worden de uitwendige en inwendige krachten die op de structuur inwerken berekend uit de evenwichtsvergelijkingen van de statica.

Deze vergelijkingen werden opgesteld voor onvervormbare structuren in rust:

Vectoriële evenwichtsvergelijkingen statica (2.1.1)

• De evenwichtsvergelijkingen van de statica bepalen dat:
  

1. De resulterende kracht die inwerkt op een voorwerp in rust gelijk is aan de vectorsom van alle krachten die inwerken op dit voorwerp, en gelijk is aan 0.
2. Het resulterend moment dat inwerkt op een voorwerp in rust gelijk is aan de vectorsom van alle momenten die inwerken op dit voorwerp, en gelijk is aan 0.

${\vec {R}}=\sum _{i}{\vec {F_{i}}}\,=\,0$ ${\vec {M}}=\sum _{i}{\vec {r}}_{Pi}\times {\vec {F_{i}}}\,=\,0$

Hierin is:

${\vec {R}}$ : de resulterende kracht of resultante die inwerkt op een voorwerp (N = kg.m/s²) ${\vec {F_{i}}}$ : de diverse uitwendige krachten die inwerken op een voorwerp (N) ${\vec {M}}$ : het resulterend moment op een voorwerp (N.m) P : een willekeurig punt in de ruimte ${\vec {r}}_{Pi}$ : de positievector van P naar het aangrijpingspunt van de kracht ${\vec {F_{i}}}$ (m) De aanduiding tussen haakjes achteraan geven de dimensies en eenheden van de grootheid weer.

Algebraïsche evenwichtsvergelijking

De vectoriële evenwichtsvergelijkingen (2.1.1) kunnen algebraïsch worden uitgeschreven, door de krachten te projecteren op een assenkruis. Een orthogonaal cartesiaans assenkruis is hiervoor aangewezen. Met orthogonaal wordt hier bedoeld dat de assen loodrecht op elkaar staan, en met cartesiaans dat de eenheidslengte op alle assen dezelfde is. Door elke kracht ${\vec {F_{i}}}$ voor te stellen met zijn componenten $(X_{i},Y_{i},Z_{i})$ en elke positievector ${\vec {r_{i}}}$ als $(x_{i},y_{i},z_{i})$, kan men de vectorvergelijking (2.1.1) algebraïsch uitwerken tot een stelsel van 6 vergelijkingen (2.1.2).

Voorstelling van een kracht met bijhorende positievector in een tweedimensionaal assenkruis

Enkele mogelijke orthogonale assenkruizen

Algebraïsche evenwichtsvergelijkingen statica (2.1.2)

• De algebraïsche evenwichtsvergelijkingen van de statica bepalen dat:
  

1. De x-component van de resultante die inwerkt op een voorwerp in rust, is gelijk aan de som van de x-componenten van diverse krachten die inwerken op dit voorwerp, en is gelijk aan 0. Hetzelfde geldt voor de y en de z-component.
2. Het resulterend moment rond de x-as, dat inwerkt op een voorwerp in rust, is gelijk aan de som van de diverse momenten rond de x-as die inwerken op dit voorwerp, en is tevens gelijk aan 0. Hetzelfde geldt voor de momenten rond de y-as en de z-as.

$R_{x}=\sum _{i}X_{i}\,=\,0$ $R_{y}=\sum _{i}Y_{i}\,=\,0$ $R_{z}=\sum _{i}Z_{i}\,=\,0$ $M_{x}=\sum _{i}(y_{i}Z_{i}-z_{i}Y_{i})\,=\,0$ $M_{y}=\sum _{i}(z_{i}X_{i}-x_{i}Z_{i})\,=\,0$ $M_{z}=\sum _{i}(x_{i}Y_{i}-y_{i}X_{i})\,=\,0$

Hierin is:

$R_{x}\,,R_{y}\,,R_{z}$ : de x, y en z-component van de resultante ${\vec {R}}$ (N) $X_{i}\,,Y_{i}\,,Z_{i}$ : de x, y en z-component van de diverse uitwendige krachten ${\vec {F_{i}}}$ (N) $M_{x}\,,M_{y}\,,M_{z}$ : de x, y en z-component van de resulterend moment ${\vec {M}}$ (N.m) $x_{i}\,,y_{i}\,,z_{i}$ : de x, y en z-component van de positievector ${\vec {r}}_{i}$ horend bij de uitwendige kracht ${\vec {F_{i}}}$ (m)

Geldigheid van de evenwichtsvergelijkingen - eerste en tweede orde berekening

Isostatische - hyperstatische structuren

Een structuur is bij definitie isostatisch, hyperstatisch of hypostatisch.

Hypostatische systemen worden in de sterkteleer zelden bestudeerd, aangezien deze systemen - op uitzonderlijke situaties na - niet in evenwicht zijn.

Voor isostatische systemen volstaan de zes evenwichtsvergelijkingen (2.1.2) om de uitwendige krachten en de verbindingskrachten tussen de samenstellende elementen van het systeem te bepalen. Eventueel moet hiervoor gebruik gemaakt worden van de techniek van het vrijmaken van een structuur. Er zijn bij isostatische systemen in de statica immers steeds evenveel vergelijkingen als onbekenden. Een belangrijke gevolg hiervan is dat bij isostatische systemen de optredende krachten onafhankelijk zijn van het materiaal van de structuur. De vergelijkingen van de statica zijn immers materiaal-onafhankelijk en bijgevolg zijn de berekende krachten eveneens materiaal-onafhankelijk.

Voor hyperstatische systemen zijn de evenwichtsvergelijkingen (2.1.2) nog steeds geldig, maar zullen er steeds meer onbekenden dan vergelijkingen zijn. Het stelsel van vergelijkingen is onbepaald en er zullen bijkomende vergelijkingen opgesteld moeten worden. Deze bijkomende vergelijking zijn meestal vergelijkingen die vervormingen van de structuur in rekening brengen en deze zijn steeds materiaalafhankelijk. Voor hyperstatische structuren geldt dus dat de optredende krachten materiaal-afhankelijk zijn.

Eerste en tweede orde berekeningen

De evenwichtsvergelijkingen zijn zoals hoger vermeld geldig voor onvervormbare structuren in rust. Dit houdt in dat de vergelijkingen (2.1.1 en 2.1.2) slechts geldig zijn als de krachtwerking zelf niet (of zo goed als niet) wijzigt tengevolge van de uitgeoefende belasting en bijhorende vervorming van de belaste structuur. De grootte, de positievector of de werkingslijn van de krachten moeten (quasi-)identiek blijven na het optreden van de vervorming. Als aan deze voorwaarde voldaan is heeft men te maken met een eerste orde berekening en mogen de evenwichtsvergelijkingen zonder meer toegepast worden.

Wanneer de krachtwerking wel beïnvloed wordt door het optreden van vervormingen in de structuur, heeft men te maken met een tweede orde berekening. Tweede orde systemen zijn mogelijk instabiel en verdienen bijzondere aandacht en minimaal een tweede orde controle. Het uitknikken van een kolom of het kippen van een ligger zijn typische voorbeelden van een tweede orde effect.

Het begrip Snede

In de sterkteleer worden continue vaste lichamen bestudeerd. Deze continue vaste lichamen zijn opgebouwd uit allerhande moleculen. Het is voor de bepaling van de inwendige krachtswerking onbegonnen werk om in de evenwichtsvergelijkingen (2.1.1 en 2.1.2) rekening te houden met de veelheid van interactiekrachten die optreden tussen deze moleculen. Om dit probleem op te lossen wordt in de sterkteleer het begrip snede ingevoerd.

Een snede kan gedefinieerd worden als een willekeurig oppervlak dat een continue lichaam opdeelt in twee delen. In theorie is elke mogelijke vorm van oppervlak mogelijk, maar voor de eenvoud wordt met vlakke snedes gewerkt, zoals de snede AA in onderstaande figuur die het lichaam opdeelt in een deel 1 en een deel 2.

Om de inwendige krachten te kennen op de snede AA maken we deel 1 los van deel 2 en beschouwen we 1 van de twee delen. Deel 2 oefent krachten uit op deel 1 en volgens de 3e wet van Newton oefent deel 1 omgekeerde en even grote krachten uit op deel 2. Deze krachten zijn de inwendige krachten in het lichaam op de snede AA. In de statica wordt aangetoond dat meerdere krachten steeds kunnen worden teruggevoerd tot 1 kracht ingrijpend in het zwaartepunt en 1 moment. Ook de krachten die deel 2 uitoefent op deel 1, en dus de inwendige krachten op snede AA, kunnen teruggevoerd worden op 1 kracht (resultante R1 inwendig) en 1 moment (resulterend moment M1 inwendig).

Voor een lichaam in evenwicht zijn de zes algebraïsche evenwichtsvergelijkingen (2.1.2) van de statica geldig. Als het volledige lichaam in evenwicht is, zijn vanzelfsprekend ook deel 1 en deel 2 in evenwicht. We kunnen de vergelijkingen (2.1.2) bijgevolg toepassen op beide delen.

Evenwichtsvergelijkingen voor deel 1 (het evenwicht voor deel 2 lijdt tot analoge formules) (2.1.3)

• Uit het evenwicht van deel 1 halen we dat de resultante van de inwendige krachten in snede AA, uitgeoefend door deel 2 op deel 1, in evenwicht is met de uitwendige krachten op deel 1. Hetzelfde geldt voor het inwendig moment op deel 1, dat in evenwicht is met de uitwendige momenten op deel 1.

$R_{1.inw.x}+\sum X_{1i}=0$ $R_{1.inw.y}+\sum Y_{1i}=0$ $R_{1.inw.z}+\sum Z_{1i}=0$ $M_{1.inw.x}+\sum M_{1i.x}=0$ $M_{1.inw.y}+\sum M_{1i.y}=0$ $M_{1.inw.z}+\sum M_{1i.z}=0$

Hierin is:

$R_{1.inw.x}\,,R_{1.inw.y}\,,R_{1.inw.z}$ : de x, y en z-component van de resultante van de inwendige krachten ${\vec {R}}_{1.inwendig}$ (N) $X_{1i}\,,Y_{1i}\,,Z_{1i}$ : de x, y en z-component van de uitwendige krachten ${\vec {F_{1i}}}$ die inwerken op deel 1 (N) $M_{1.inw.x}\,,M_{1.inw.y}\,,M_{1.inw.z}$ : de x, y en z-component van de resultante van de inwendige momenten ${\vec {M}}_{1.inwendig}$ (N.m) $M_{1i.x}\,,M_{1i.y}\,,M_{1i.z}$ : de x, y en z-component van de uitwendige momenten${\vec {M_{1i}}}$ die inwerken op deel 1 (N.m)

Verband tussen de inwendige krachten langs snede AA uitgeoefend door deel 1 op deel 2 en door deel 2 op deel 1. (2.1.4)

• Uit de 3e wet van Newton ( actie = reactie ) volgt onmiddellijk dat deze krachten gelijk zijn in grootte maar in de richting tegengesteld zijn. De inwendige krachten krachten aan beide zijde van de snede zijn met elkaar in evenwicht.

${\vec {R}}_{2.inwendig}=-{\vec {R}}_{1.inwendig}$ ${\vec {M}}_{2.inwendig}=-{\vec {M}}_{1.inwendig}$

Hierin is:

${\vec {R}}_{1.inwendig}$ : De resultante van de inwendige krachten langs de snede AA uitgeoefend op deel 1 door deel 2 (N) ${\vec {R}}_{2.inwendig}$ : De resultante van de inwendige krachten langs de snede AA uitgeoefend op deel 2 door deel 1 (N) ${\vec {M}}_{1.inwendig}$ : Het resulterend moment van de inwendige krachten langs de snede AA uitgeoefend op deel 1 door deel 2 (N.m) ${\vec {M}}_{2.inwendig}$ : Het resulterend moment van de inwendige krachten langs de snede AA uitgeoefend op deel 2 door deel 1 (N.m)

Het begrip Balk

Vele van de in de sterkteleer bestudeerde structuren zijn opgebouwd uit rechte of gekromde prismatische elementen. Dergelijke elementen worden in de sterkteleer aangeduid als balken. Een balk kan als volgt worden gedefinieerd:

Een balk is een lichaam dat ontstaat door een vlakke sectie A in een driedimensionale ruimte te bewegen, zodanig dat het zwaartepunt G van de sectie A een bepaalde curve volgt, die aslijn wordt genoemd, en waarbij de sectie A steeds loodrecht blijft op de raaklijn aan de aslijn in het zwaartepunt G.

De aslijn wordt in de sterkteleer vaak aangeduid als middenvezel van de balk. De aslijn kan recht of gebogen zijn.
De sectie A, ook wel dwarsdoorsnede genoemd, mag in vorm en grootte op continue wijze variëren. In het geval de dwarsdoorsnede constant is qua vorm en grootte, spreekt men van een prismatische balk.

In de sterkteleer worden veelal prismatische elementen bestudeerd waarbij de afmetingen van de dwarsdoorsnede A relatief klein zijn tegenover de lengte van de middenvezel.

Wanneer de lengte dezelfde grootteorde heeft als de sectie, heeft men te maken met gedrongen stukken. Indien twee afmetingen (bv lengte en breedte) veel groter zijn dan de hoogte, dan hebben we eerder te maken met een plaat, een wand of een schaalelement. De relatief eenvoudige formules voor ideale gevallen die in volgende hoofdstukken worden opgesteld, zullen dan in vele gevallen niet volstaan. Men zal dan exactere methodes uit de elasticiteitsleer gebruiken voor het berekenen van de krachtswerking en vervormingen in deze lichamen.

Snedekrachten en belastingsgevallen

Uitgangspunt en afspraken

We beschouwen een balk met een vlakke snede A die de balk opdeelt in een linker- en rechterdeel. Het linkerdeel is getekend op onderstaande figuur.

De inwendige krachten die door het rechterdeel worden uitgeoefend op het linkerdeel van de balk volgens de snede A, kunnen teruggebracht worden tot één enkele resulterende kracht ${\vec {F}}$ en één resulterend moment ${\vec {M}}$, aangrijpend in het zwaartepunt van de snede. De inwendige krachten die inwerken op een snede noemen we in het vervolg van dit boek kortweg snedekrachten.

We plaatsen een rechthoekig assenkruis op volgende wijze:

• de oorsprong (nulpunt) van het assenkruis ligt in het zwaartepunt van de snede.
• de positieve x-as ligt in het verlengde van de aslijn, wijzend naar het rechterdeel van de balk.
• de positieve y-as ligt loodrecht op de x-as naar beneden gericht.
• de positieve z-as ligt loodrecht op de xy-vlak naar voren gericht, zodat we een linksdraaiend assenkruis verkrijgen.

Vermits de aslijn en dus ook de x-as loodrecht op de snede A ligt, liggen de y-as en de z-as in het vlak van de snede A.

De krachtsvectoren F en M kunnen in dit assenkruis ontbonden worden volgens hun componenten:

${\vec {F}}=(F_{x},F_{y},F_{z})=(N,T_{y},T_{z})$

${\vec {M}}=(M_{x},M_{y},M_{z})=(M_{t},M_{y},M_{z})$

$F_{x}=N$ noemt men de normaalkracht op de snede.

$F_{y}=T_{y}$ en $F_{z}=T_{z}$ noemt men de dwarskrachten op de snede.

$M_{x}=M_{t}$ is het moment rond de x-as en noemt men het wringmoment op de snede. In het engels en het frans wordt wringing aangeduid als torsion, vandaar $M_{t}$ in plaats van $M_{w}$, in het nederlands worden beide aanduidingen gebruikt.

$M_{y}$ en $M_{z}$ zijn de momenten rond de y-as en de z-as en noemt men de buigmomenten op de snede.

Benaming van de diverse belastingsgevallen

Elementaire belastingsgevallen

De 6 componenten van de inwendige krachten, ofwel $N,T_{y},T_{z}\,en\,M_{t},M_{y},M_{z}$, zullen in de praktijk dikwijls niet gelijktijdig inwerken. Vooreerst bekijken we die gevallen waarbij slechts een van de zes componenten verschillend is van 0. Dit noemen we de elementaire belastingsgevallen:

Type belastingsgeval	Benaming
enkel $\,N<>0$	zuivere axiale trek of druk
enkel $\,M_{y}$ en/of $\,M_{z}<>0$	zuivere buiging
enkel $\,M_{t}<>0$	zuivere wringing
enkel $\,T_{y}$ en/of $\,T_{z}<>0$	zuivere afschuiving

In plaats van de term zuivere axiale trek of druk wordt ook wel de term zuivere centrische trek of druk gebruikt.

Samengestelde belastingsgevallen

Combinaties van elementaire belastingsgevallen noemt men samengestelde belastingsgevallen. De meest voorkomende zijn de volgende:

Type belastingsgeval	Benaming
$\,M_{z}<>0$ en $\,T_{y}<>0$	buiging en afschuiving of enkelvoudige buiging
$\,N<>0$ en $\,M_{z}<>0$	normaalkracht en buiging of samengestelde buiging
$\,M_{z}<>0$ en $\,M_{t}<>0$	buiging en wringing
$\,N<>0$ en $\,M_{t}<>0$	normaalkracht en wringing

<< Terug naar Inleiding / Verder naar Bepaling van de snedekrachten >>