Transmissielijnen/Randvoorwaarden

De coëfficiënten A en B in de oplossingen van de telegraafvergelijkingen kunnen we bepalen aan de hand van de randvoorwaarden.

• De spanning aan het begin van de lijn is gelijk is aan de bronspanning:

$\,u(0)=u_{0}$,

• de impedantie aan het einde van de lijn is de belastingsimpedantie:

$\,{\frac {u(L)}{v(L)}}=z_{L}={\frac {Z_{L}}{Z_{0}}}$.

Daaruit leiden we af:

$\,A+B=u_{0}$

en

$\,Ae^{-\gamma L}+Be^{+\gamma L}=z_{L}(Ae^{-\gamma L}-Be^{+\gamma L})$,

waarmee de verhouding van B en A, die we met Γ₀, de later te bespreken reflectiecoëfficiënt aan het begin van de lijn, aanduiden, vastligt:

$\,{\frac {B}{A}}=\Gamma _{0}={\frac {z_{L}-1}{z_{L}+1}}e^{-2\gamma L}$.

Daaruit volgt:

$\,A={\frac {1}{1+\Gamma _{0}}}u_{0}$

en

$\,B={\frac {\Gamma _{0}}{1+\Gamma _{0}}}u_{0}$.

We kunnen A en B ook uitdrukken in u₀ en v₀, de waarden van u en v aan het begin van de lijn. Er geldt:

$v_{0}=u_{0}{\frac {(z_{L}+1)e^{+\gamma L}-(z_{L}-1)e^{-\gamma L}}{(z_{L}+1)e^{+\gamma L}+(z_{L}-1)e^{-\gamma L}}}=u_{0}{\frac {z_{L}+\tanh(\gamma L)}{1+z_{L}\tanh(\gamma L)}}$

Dan is:

$\,A+B=u_{0}$

en

$\,A-B=v_{0}$,

zodat:

$A={\tfrac {1}{2}}(u_{0}+v_{0})$

en

$B={\tfrac {1}{2}}(u_{0}-v_{0})$.

De spanning en de stroom zijn dus:

$u(x)={\tfrac {1}{2}}(u_{0}+v_{0})e^{-\gamma x}+{\tfrac {1}{2}}(u_{0}-v_{0})e^{+\gamma x}=u_{0}\cosh(\gamma x)-v_{0}\sinh(\gamma x)$

en

$v(x)={\tfrac {1}{2}}(u_{0}+v_{0})e^{-\gamma x}-{\tfrac {1}{2}}(u_{0}-v_{0})e^{+\gamma x}=v_{0}\cosh(\gamma x)-u_{0}\sinh(\gamma x)$.

Verliesvrije lijn

Voor een verliesvrije lijn is $r=0$ en $g=0$, dus is:

$\gamma =j\beta =j\omega {\sqrt {lc}}$.

De spanning en de stroom zijn dan:

$u(x)=u_{0}\cosh(j\beta x)-v_{0}\sinh(j\beta x)=u_{0}\cos(\beta x)+j\,v_{0}\sin(\beta x)$

$u(x)/u_{0}=\cos(\beta x)+j{\frac {v_{0}}{u_{0}}}\sin(\beta x)=\cos(\beta x)+j{\frac {1}{z_{in}}}\sin(\beta x)$

en analoog

$v(x)=v_{0}\cos(\beta x)+j\,u_{0}\sin(\beta x)$.