Transmissielijnen/Telegraafvergelijkingen

Een enkelvoudige elektrische transmissielijn bestaat uit twee equidistante geleiders van een bepaalde lengte $L$ en heeft een homogene structuur. De geleiders hebben afzonderlijk een zekere ohmse weerstand en zelfinductie en t.o.v. elkaar een zekere geleiding en capaciteit. Al deze parameters zijn per eenheid van lengte gedefinieerd. Per lengte-eenheid worden ze gedistribueerde parameters genoemd, aangeduid met $r,l,g$ en $c$. Onderstaande transmissielijn is afgesloten met een belasting die een impedantie $Z_{L}$ kent. De ruimte tussen de geleiders is gevuld met een diëlektricum, hetgeen de golfsnelheid van de lijn beïnvloedt.

Aan het begin van de lijn ($x=0$) is een spanningsbron aangesloten (maar niet in de afbeelding zichtbaar). We bekijken een stukje van de lijn gelegen tussen $x,x+\mathrm {d} x$. Spanning en stroom bij $x$ geven we aan met resp. $u(x,t)$ en $i(x,t)$.

Met behulp van de stroom-, resp. spanningswet van Kirchhoff kunnen we differentiaalvergelijkingen opstellen voor $u$ en $i$.

Er geldt:

$u(x+dx,t+dt)-u(x,t)=-u_{r}-u_{l}\,$

en

$i(x+dx,t+dt)-i(x,t)=-i_{c}-i_{g}\,$

Voor de capaciteit $c\cdot \mathrm {d} x$ geldt:

$i_{c}=c\cdot \mathrm {d} x{\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}\,$,

en voor de zelfinductie $l\cdot \mathrm {d} x$:

$u_{l}=l\cdot \mathrm {d} x{\frac {\partial i(x,t)}{\partial t}}\,$.

Invullen in de genoemde differentiaalvergelijkingen levert:

$i(x+dx,t)-i(x,t)=-i_{c}-i_{g}=-c\cdot \mathrm {d} x{\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}-g\cdot \mathrm {d} x\cdot u(x,t)\,$

zodat

${\frac {i(x+\mathrm {d} x,t)-i(x,t)}{dx}}=-c{\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}-g\cdot u(x,t)\,$

of

$-{\frac {\partial i(x,t)}{\partial x}}=c{\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}+g\cdot u(x,t)\,$

Aaloog vinden we:

$-{\frac {\partial u(x,t)}{\partial x}}=r{\frac {\partial i(x,t)}{\partial t}}+l\cdot i(x,t)\,$

De beide vergelijkingen heten de telegraafvergelijkingen. Ze zijn lineair, dus volgens het superpositiebeginsel kunnen we volstaan met harmonische analyse.

We beschouwen daarom een sinusvormig signaal met frequentie $f$ en dus met cirkelfrequentie $\omega =2\pi \,f$. We rekenen complex en schrijven $u$ i.p.v. ${\underline {u}}$ en $i$ i.p.v. ${\underline {i}}$

De vergelijkingen worden:

$-{\frac {\partial i}{\partial x}}=(g+j\omega c)u\,$

en

$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=(r+j\omega l)i\,$

We noemen

$\,\gamma ={\sqrt {(g+j\omega c)(r+j\omega l)}}$ de voortplantingscoefficient

en

$\,Z_{0}={\sqrt {\frac {r+j\omega l}{g+j\omega c}}}={\sqrt {\frac {(r+j\omega l)(g-j\omega c)}{g^{2}+\omega ^{2}c^{2}}}}$ , de karakteristieke impedantie.

Voor het gemak drukken we alle grootheden uit in de karakteristieke impedantie. Zo voeren we in:

$\,v=Z_{0}i$

dan krijgen de vergelijkingen de eenvoudige vorm

${\frac {\partial u}{\partial x}}=-\gamma v\,$

en

${\frac {\partial v}{\partial x}}=-\gamma u\,$.

met als oplossingen:

$\,u(x)=Ae^{-\gamma x}+Be^{+\gamma x}$

en

$\,v(x)=Ae^{-\gamma x}-Be^{+\gamma x}$.