Wiskunde/Vergelijkingen en ongelijkheden/Stelsels

Opgaven

Opgave I

De som van twee getallen is 130 en het verschil is 52. Wat zijn deze getallen?

Opgave II

Drie getallen zijn samen gelijk aan 200. Het tweevoud van het eerste getal, vermeerderd met het tweevoud van het tweede getal, is gelijk aan de helft van het derde getal. Drievierde van het eerste getal, verminderd met een kwart van het tweede getal, is gelijk aan de helft van het derde getal, vermeerderd met 30.

Wat zijn de drie getallen?

Uitwerkingen

Uitwerking Opgave I

Noem het grootste getal $x$ en het kleinste getal $y$. Dan geldt:

${\begin{cases}x+y=130\\x-y=52\end{cases}}$

Door optelling van de vergelijkingen verkrijgen we, Het antwoord is:

       x + y = 130 \\

x - y = 52 => x = 52 + y

                                                  X = 52 + 39
       52 + y + y = 130 \\.             X = 91
       52 + 2y = 130
       2y = 130 - 52
       2y = 78
       y = 39

Verder geldt dat $y=130-x$, dus $y=130-91=39$.

Uitwerking Opgave II

We noemen de drie getallen $a$ (het eerste getal), $b$ (het tweede getal) en $c$ (het derde getal).

Uit de opgave zijn drie vergelijkingen te destilleren:

1. $a+b+c=200\!$
2. $2a+2b={\tfrac {1}{2}}c$
3. ${\tfrac {3}{4}}a-{\tfrac {1}{4}}b={\tfrac {1}{2}}c+30$

We moeten dus het volgende stelsel van vergelijkingen oplossen:

${\begin{cases}a+b+c=200\\2a+2b={\tfrac {1}{2}}c\\{\tfrac {3}{4}}a-{\tfrac {1}{4}}b={\tfrac {1}{2}}c+30\end{cases}}$

$c$ is als volgt uit te drukken in $a$ en $b$:

$2a+2b={\tfrac {1}{2}}c\rightarrow 4a+4b=c$

Hiermee hebben we het stelsel van drie vergelijkingen gereduceerd tot een stelsel van twee vergelijkingen:

${\begin{cases}a+b+(4a+4b)=200\\{\tfrac {3}{4}}a-{\tfrac {1}{4}}b={\tfrac {1}{2}}(4a+4b)+30\end{cases}}$

Na vereenvoudiging:

${\begin{cases}5a+5b=200\\{\tfrac {3}{4}}a-{\tfrac {1}{4}}b=2a+2b+30\end{cases}}$

Op dezelfde manier kunnen we nu $b$ uitdrukken in $a$:

$5a+5b=200\rightarrow 5b=200-5a\rightarrow b=40-a$

Door deze b in te vullen in de onderste formule, krijgen we te maken met een eenvoudige eerstegraads vergelijking:

${\tfrac {3}{4}}a-{\tfrac {1}{4}}(40-a)=2a+2(40-a)+30$

Oplossen van deze vergelijking geeft:

${\begin{aligned}{\tfrac {3}{4}}a-{\tfrac {1}{4}}(40-a)&=&2a+2(40-a)+30\\3a-(40-a)&=&8a+8(40-a)+120\\3a-40+a&=&8a+320-8a+120\\4a&=&480\\a&=&120\end{aligned}}$

Invullen van deze $a$ in $b=40-a$ geeft $b=40-120=-80$.

Invullen van deze $a$ en $b$ in $c=4a+4b$ geeft $c=4\cdot 120+4\cdot -80=480-320=160$.

De oplossingen zijn dus: $a=120,b=-80,c=160$.