Wiskunde/Vergelijkingen en ongelijkheden/Tweedegraads

Inhoudsopgave Wiskunde
Hoofdstukken
  1. Algebra
  2. Getallen
  3. Meetkunde|
  4. Oppervlakte
  5. Pythagoras
  6. Rekenkunde
  7. Talstelsels
  8. Vergelijkingen en ongelijkheden
9. Volume

StandaardvormBewerken

Een tweedegraads- of kwadratische functie heeft de volgende vorm:

 

De grafiek van een tweedegraadsfunctie is een parabool.

Een tweedegraads of kwadratische vergelijking is een vergelijking met de standaardvorm:

 

Soms laat men voor b de waarde 0 toe en noemt de vergelijking dan ontaard.

NulpuntenBewerken

De oplossingen van de vergelijking   in de onbekende x zijn de nulpunten van de bovengenoemde tweedegraadsfunctie y. Ze worden gegeven door de abc- of wortelformule:

 

Er zijn drie gevallen te onderscheiden:

  1. b2 - 4ac > 0: De vergelijking heeft twee oplossingen.
  2. b2 - 4ac = 0: De vergelijking heeft één oplossing, namelijk het snijpunt van de top met de x-as.
  3. b2 - 4ac < 0: De vergelijking heeft geen (reële) oplossingen.

VoorbeeldBewerken

Wat zijn de x-coördinaten van de snijpunten met de x-as van de parabool die wordt beschreven door de formule  ?

 

De x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as zijn dus -3 en 1.

Afleiding van de wortelformuleBewerken

 

Algemene tweedegraadsvergelijkingBewerken

Hierboven hebben we gezien dat een vergelijking in de vorm van   eenvoudig kan worden opgelost. Dit is niet direct het geval met een vergelijking van de vorm  . We zullen deze vergelijking eerst moeten omschrijven:

 

De aldus verkregen vergelijking kan eenvoudig worden opgelost met behulp van de abc-formule.

Top BepalenBewerken

De x-coördinaat van de top wordt gegeven door  . De y-coördinaat van de top kan worden verkregen door   in te vullen in de formule.

VoorbeeldBewerken

Wat zijn de coördinaten van de top van de parabool die wordt beschreven door de formule  ?

 

De coördinaten van de top van de grafiek zijn  .

Afleiding van deze FormuleBewerken

  geeft  . Gelijkstellen van de afgeleide aan 0 (om de top te bepalen) geeft:

 


 

Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.