Een tweedegraads- of kwadratische functie heeft de volgende vorm:
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
(
a
≠
0
)
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\quad \quad (a\neq 0)}
De grafiek van een tweedegraadsfunctie is een parabool.
Een tweedegraads of kwadratische vergelijking is een vergelijking met de standaardvorm:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad \quad (a\neq 0)}
Soms laat men voor b de waarde 0 toe en noemt de vergelijking dan ontaard .
De oplossingen van de vergelijking
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
x zijn de nulpunten van de bovengenoemde tweedegraadsfunctie y . Ze worden gegeven door de abc- of wortelformule :
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
Er zijn drie gevallen te onderscheiden:
b2 - 4ac > 0 : De vergelijking heeft twee oplossingen.b2 - 4ac = 0 : De vergelijking heeft één oplossing, namelijk het snijpunt van de top met de x-as.b2 - 4ac < 0 : De vergelijking heeft geen (reële) oplossingen.Wat zijn de x-coördinaten van de snijpunten met de x-as van de parabool die wordt beschreven door de formule
y
=
x
2
+
2
x
−
3
{\displaystyle y=x^{2}+2x-3}
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
=
−
2
±
2
2
−
4
⋅
1
⋅
−
3
2
⋅
1
=
−
2
±
16
2
=
−
2
±
4
2
=
−
1
±
2
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\&={\frac {-2\pm {\sqrt {2^{2}-4\cdot 1\cdot -3}}}{2\cdot 1}}\\&={\frac {-2\pm {\sqrt {16}}}{2}}\\&={\frac {-2\pm 4}{2}}\\&=-1\pm 2\end{aligned}}}
De x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as zijn dus -3 en 1.
Afleiding van de wortelformule
bewerken
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
+
4
a
c
=
0
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
+
b
2
=
b
2
−
4
a
c
(
2
a
x
+
b
)
2
=
b
2
−
4
a
c
2
a
x
+
b
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx+4ac&=0\\4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\(2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\2ax+b&=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\2ax&=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}
Algemene tweedegraadsvergelijking
bewerken
Hierboven hebben we gezien dat een vergelijking in de vorm van
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
d
x
2
+
e
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=dx^{2}+e}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
d
x
2
+
e
⇐⇒
(
a
−
d
)
x
2
+
b
x
+
(
c
−
e
)
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=dx^{2}+e\Leftarrow \Rightarrow (a-d)x^{2}+bx+(c-e)=0}
De aldus verkregen vergelijking kan eenvoudig worden opgelost met behulp van de abc-formule.
De x-coördinaat van de top wordt gegeven door
x
t
o
p
=
−
b
2
a
{\displaystyle x_{top}=-{\tfrac {b}{2a}}}
x
t
o
p
{\displaystyle x_{top}}
Wat zijn de coördinaten van de top van de parabool die wordt beschreven door de formule
y
=
3
x
2
+
4
x
−
2
{\displaystyle y=3x^{2}+4x-2}
x
t
o
p
=
−
4
2
⋅
3
=
−
2
3
y
t
o
p
=
3
⋅
(
−
2
3
)
2
+
4
⋅
−
2
3
−
2
=
−
10
3
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{top}&=-{\tfrac {4}{2\cdot 3}}=-{\tfrac {2}{3}}\\y_{top}&=3\cdot (-{\tfrac {2}{3}})^{2}+4\cdot -{\tfrac {2}{3}}-2=-{\tfrac {10}{3}}\end{aligned}}}
De coördinaten van de top van de grafiek zijn
(
−
2
3
,
−
10
3
)
{\displaystyle (-{\tfrac {2}{3}},-{\tfrac {10}{3}})}
Afleiding van deze Formule
bewerken
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
d
y
d
x
=
2
a
x
+
b
{\displaystyle {\tfrac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}=2ax+b}
2
a
x
+
b
=
0
2
a
x
=
−
b
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle {\begin{aligned}2ax+b&=0\\2ax&=-b\\x&={\tfrac {-b}{2a}}\end{aligned}}}
